1. مسئله: مقدار حد $$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{2+3x} - \sqrt{2-x}}{\sqrt{1 - \cos x}}$$ را بیابید. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - برای حدهایی که صورت و مخرج به صفر میل می‌کنند، می‌توان از روش هم‌مخرج‌سازی یا ضرب صورت و مخرج در مزدوج استفاده کرد. - تقریب‌های تیلور برای توابع مثلثاتی و رادیکالی در نزدیکی صفر مفید است. 3. ابتدا صورت کسر را با ضرب در مزدوج ساده می‌کنیم: $$\frac{\sqrt{2+3x} - \sqrt{2-x}}{\sqrt{1 - \cos x}} \times \frac{\sqrt{2+3x} + \sqrt{2-x}}{\sqrt{2+3x} + \sqrt{2-x}} = \frac{(2+3x) - (2 - x)}{\sqrt{1 - \cos x} (\sqrt{2+3x} + \sqrt{2-x})} = \frac{4x}{\sqrt{1 - \cos x} (\sqrt{2+3x} + \sqrt{2-x})}$$ 4. تقریب مخرج: - برای $x \to 0$, $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ بنابراین: $$\sqrt{1 - \cos x} \approx \sqrt{\frac{x^2}{2}} = \frac{|x|}{\sqrt{2}}$$ 5. چون $x \to 0^-$، پس $x$ منفی است و $|x| = -x$. 6. تقریب رادیکال‌ها در مخرج: $$\sqrt{2+3x} \approx \sqrt{2} + \frac{3x}{2\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2-x} \approx \sqrt{2} - \frac{x}{2\sqrt{2}}$$ 7. جمع رادیکال‌ها: $$\sqrt{2+3x} + \sqrt{2-x} \approx \sqrt{2} + \frac{3x}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} - \frac{x}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{2x}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{x}{\sqrt{2}}$$ 8. حال حد را جایگزین می‌کنیم: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{4x}{\frac{|x|}{\sqrt{2}} \left(2\sqrt{2} + \frac{x}{\sqrt{2}}\right)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{4x}{\frac{-x}{\sqrt{2}} \left(2\sqrt{2} + 0\right)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{4x}{-x \cdot 2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{4x}{-2x} = -2$$ 9. پاسخ نهایی: $$\boxed{-2}$$