1. مسئله: تابع قطعه‌ای $f(x)$ به صورت زیر تعریف شده است: $$f(x) = \begin{cases} 6ax^2 + 1 & x > 2 \\ 3 & x = 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{-2x + 4} & x < 2 \end{cases}$$ می‌خواهیم مقدار $a$ را پیدا کنیم به طوری که حد تابع $f$ در $x=2$ وجود داشته باشد و برابر با $-82$ باشد. 2. برای وجود حد در نقطه $x=2$، باید حد چپ و حد راست تابع در آن نقطه برابر باشند و همچنین با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند (اگر تابع در آن نقطه تعریف شده باشد). 3. ابتدا حد چپ را محاسبه می‌کنیم: عبارت زیر را ساده می‌کنیم: $$\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{-2x + 4} = \frac{\sqrt{(x-2)^2}}{-2x + 4} = \frac{|x-2|}{-2x + 4}$$ برای $x < 2$، داریم $|x-2| = 2 - x$ و همچنین $-2x + 4 = 4 - 2x$. پس: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{4 - 2x}$$ با جایگذاری مستقیم $x=2$: $$\frac{2 - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$$ که نامعین است، پس از قاعده لوپیتال استفاده می‌کنیم: مشتق صورت و مخرج نسبت به $x$: $$\frac{d}{dx}(2 - x) = -1, \quad \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2$$ پس حد چپ: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ 4. حال حد راست را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (6ax^2 + 1) = 6a(2)^2 + 1 = 24a + 1$$ 5. برای وجود حد در $x=2$، باید حد چپ و حد راست برابر باشند و همچنین با مقدار تابع در $x=2$ برابر باشند: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3$$ از حد چپ داریم: $$\frac{1}{2} = 3$$ که نادرست است، پس تابع در $x=2$ پیوسته نیست مگر اینکه مقدار تابع در $x=2$ را تغییر دهیم. اما سوال می‌گوید حد تابع در $x=2$ برابر $-82$ باشد، پس: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = -82$$ از حد چپ: $$\frac{1}{2} = -82$$ که نادرست است، پس باید حد چپ را دوباره بررسی کنیم. 6. بررسی دقیق‌تر حد چپ: عبارت زیر را داریم: $$\frac{\sqrt{(x-2)^2}}{-2x + 4} = \frac{|x-2|}{-2x + 4}$$ برای $x < 2$، $|x-2| = 2 - x$ و $-2x + 4 = 4 - 2x$. پس: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{4 - 2x}$$ اگر $x \to 2^-$، مخرج به صفر می‌رود و صورت به صفر می‌رود، پس باید جهت حد را بررسی کنیم. برای $x$ نزدیک به 2 از چپ، صورت مثبت است (چون $2 - x > 0$) و مخرج: $$4 - 2x = 2(2 - x) > 0$$ پس حد چپ: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{2(2 - x)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ پس حد چپ برابر $\frac{1}{2}$ است. 7. حال برای وجود حد در $x=2$ و برابر بودن با $-82$، باید حد راست برابر $-82$ باشد: $$24a + 1 = -82$$ حل معادله: $$24a = -83$$ $$a = -\frac{83}{24}$$ که در گزینه‌ها نیست. 8. اما سوال گزینه‌ها را داده است، پس احتمالاً اشتباهی در صورت سوال یا مقدار حد داده شده است. اگر مقدار حد را $-82$ نگیریم و فقط بخواهیم حد وجود داشته باشد و برابر مقدار تابع در $x=2$ باشد یعنی: $$24a + 1 = 3$$ $$24a = 2$$ $$a = \frac{1}{12}$$ که باز در گزینه‌ها نیست. 9. اگر مقدار حد را $-\frac{1}{24}$ یا $-\frac{1}{48}$ یا $\frac{1}{24}$ یا $\frac{1}{48}$ در نظر بگیریم، باید بررسی کنیم کدام گزینه درست است. فرض کنیم حد برابر $-82$ نیست بلکه مقدار حد همان گزینه‌ها است. برای گزینه 1: $a = -\frac{1}{24}$ حد راست: $$24 \times \left(-\frac{1}{24}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$$ حد چپ $\frac{1}{2}$ است، برابر نیستند. برای گزینه 2: $a = -\frac{1}{48}$ حد راست: $$24 \times \left(-\frac{1}{48}\right) + 1 = -\frac{24}{48} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$$ حد چپ نیز $\frac{1}{2}$ است، پس حد وجود دارد و برابر است. 10. بنابراین پاسخ درست گزینه 2 یعنی $a = -\frac{1}{48}$ است. --- **پاسخ نهایی:** گزینه 2