1. مسئله: تابع بخش‌بندی شده $f(x)$ به صورت زیر تعریف شده است: $$f(x) = \begin{cases} 6ax^2 + 1 & x > 2 \\ 3 & x = 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{-2x + 4} & x < 2 \end{cases}$$ می‌خواهیم مقدار $a$ را بیابیم به طوری که حد تابع در $x=2$ وجود داشته باشد. 2. برای وجود حد در نقطه $x=2$، باید حد چپ و حد راست تابع در آن نقطه برابر و برابر مقدار تابع در آن نقطه یا حد تابع باشند. 3. ابتدا حد چپ را محاسبه می‌کنیم: عبارت زیر را ساده می‌کنیم: $$\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{-2x + 4} = \frac{\sqrt{(x-2)^2}}{-2x + 4} = \frac{|x-2|}{-2x + 4}$$ برای $x < 2$، داریم $|x-2| = 2 - x$ و همچنین $-2x + 4 = 4 - 2x$. پس: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{4 - 2x}$$ 4. حال حد را محاسبه می‌کنیم: جایگذاری مستقیم $x=2$: $$\frac{2 - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$$ یک حالت نامعین است، پس از قاعده لوپیتال استفاده می‌کنیم: مشتق صورت و مخرج نسبت به $x$: $$\frac{d}{dx}(2 - x) = -1, \quad \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2$$ حد جدید: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ 5. حد چپ برابر $\frac{1}{2}$ است. 6. حد راست را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (6ax^2 + 1) = 6a(2)^2 + 1 = 24a + 1$$ 7. برای وجود حد در $x=2$، باید حد چپ و حد راست برابر باشند: $$24a + 1 = \frac{1}{2}$$ 8. معادله را حل می‌کنیم: $$24a = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$ $$a = -\frac{1}{48}$$ 9. بنابراین مقدار $a$ برابر $-\frac{1}{48}$ است که گزینه 2 می‌باشد. پاسخ نهایی: گزینه 2