1. مسئله: ثابت کنید که $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$$ برای تابع $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{اگر } x \text{ گویا باشد} \\ 0 & \text{اگر } x \text{ گنگ باشد} \end{cases}$$ 2. فرمول و قاعده: برای اثبات حد تابع، باید نشان دهیم که برای هر دنباله $$x_n \to 0$$، مقدار $$f(x_n) \to 0$$. 3. بررسی حالت‌ها: - اگر $$x_n$$ دنباله‌ای از اعداد گویای نزدیک به صفر باشد، آنگاه $$f(x_n) = x_n^2$$ و چون $$x_n \to 0$$، پس $$x_n^2 \to 0$$. - اگر $$x_n$$ دنباله‌ای از اعداد گنگ نزدیک به صفر باشد، آنگاه $$f(x_n) = 0$$ که واضحاً به صفر میل می‌کند. 4. نتیجه: در هر دو حالت، $$f(x_n) \to 0$$ وقتی $$x_n \to 0$$، پس $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$$ این نشان می‌دهد که حد تابع در صفر برابر صفر است، حتی با وجود تعریف متفاوت برای اعداد گویای و گنگ.