1. נניח את הבעיה: לחשב את הגבול $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x(x+1)^4}{(2x-1)^5}$$. 2. נשתמש בכלל הגבולות לפונקציות פולינומיות וחזקות: כאשר $x \to \infty$, הביטוי שגדל הכי מהר בדומיננטיות יקבע את הגבול. 3. נפתח את החזקות ונזהה את המונחים המובילים: - המונה: $3x(x+1)^4 = 3x(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) = 3x^5 + 12x^4 + 18x^3 + 12x^2 + 3x$ - המכנה: $(2x-1)^5 = (2x)^5 - 5(2x)^4(1) + \ldots = 32x^5 - 80x^4 + \ldots$ 4. נבחן את המונחים המובילים במונה ובמכנה: - מונה מוביל: $3x^5$ - מכנה מוביל: $32x^5$ 5. נחלק את המונה והמכנה ב-$x^5$ כדי לפשט את הגבול: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^5 + 12x^4 + \ldots}{32x^5 - 80x^4 + \ldots} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{12}{x} + \ldots}{32 - \frac{80}{x} + \ldots}$$ 6. כאשר $x \to \infty$, כל המונחים עם $\frac{1}{x}$ שואפים ל-0, ולכן הגבול הוא: $$\frac{3}{32}$$ התשובה הסופית היא: $$\boxed{\frac{3}{32}}$$