1. مسئله: حد $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x - \tan(x)}$$ را با استفاده از قاعده هوپیتال پیدا کنید. 2. ابتدا بررسی می‌کنیم که صورت و مخرج در نقطه $x=0$ به چه مقداری میل می‌کنند: $$x - \sin(x) \to 0 - 0 = 0$$ $$x - \tan(x) \to 0 - 0 = 0$$ پس شکل حد $$\frac{0}{0}$$ است و قاعده هوپیتال قابل اعمال است. 3. مشتق صورت و مخرج نسبت به $x$ را محاسبه می‌کنیم: صورت: $$\frac{d}{dx}(x - \sin(x)) = 1 - \cos(x)$$ مخرج: $$\frac{d}{dx}(x - \tan(x)) = 1 - \sec^2(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2(x)}$$ 4. حد جدید تبدیل می‌شود به: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{1 - \frac{1}{\cos^2(x)}}$$ 5. صورت را می‌نویسیم: $$1 - \cos(x)$$ 6. مخرج را بازنویسی می‌کنیم: $$1 - \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) - 1}{\cos^2(x)} = \frac{-(1 - \cos^2(x))}{\cos^2(x)} = \frac{-(\sin^2(x))}{\cos^2(x)} = -\tan^2(x)$$ 7. پس حد به شکل زیر درآمده است: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{-\tan^2(x)}$$ 8. حالا از توسعه‌های بینی‌نما استفاده می‌کنیم: $$1 - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2}$$ $$\tan(x) \approx x$$ پس $$\tan^2(x) \approx x^2$$ 9. حد تبدیل می‌شود به: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$ نتیجه نهایی: $$\boxed{-\frac{1}{2}}$$