1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم مقدار $$\lim_{x \to -1} \frac{2x+1}{2x^2 + ax + b} = -\infty$$ را داشته باشیم و سپس مقدار $$\lim_{x \to -1^-} \frac{\lfloor ax \rfloor}{bx + 1}$$ را بیابیم. 2. ابتدا شرط $$\lim_{x \to -1} \frac{2x+1}{2x^2 + ax + b} = -\infty$$ را بررسی می‌کنیم. برای اینکه حد به منفی بی‌نهایت میل کند، مخرج باید در نقطه $x=-1$ صفر شود و از طرف چپ علامت مخرج به گونه‌ای باشد که کسر به سمت منفی بی‌نهایت برود. 3. مخرج را در $x=-1$ صفر می‌کنیم: $$2(-1)^2 + a(-1) + b = 2 - a + b = 0 \Rightarrow b = a - 2$$ 4. صورت در $x=-1$ برابر است با: $$2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$$ که منفی است. 5. برای اینکه حد به $-\infty$ میل کند، مخرج باید از سمت چپ به صفر مثبت میل کند (چون صورت منفی است و کسر منفی بی‌نهایت شود). پس مشتق مخرج در $x=-1$ را بررسی می‌کنیم: $$f(x) = 2x^2 + ax + b$$ $$f'(x) = 4x + a$$ 6. مقدار مشتق در $x=-1$: $$f'(-1) = 4(-1) + a = -4 + a$$ برای اینکه مخرج از سمت چپ به صفر مثبت میل کند، مشتق باید منفی باشد: $$-4 + a < 0 \Rightarrow a < 4$$ 7. حال مقدار $b$ را داریم: $$b = a - 2$$ 8. اکنون حد دوم را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{\lfloor ax \rfloor}{bx + 1}$$ 9. مقدار مخرج در $x=-1$: $$b(-1) + 1 = -b + 1 = 1 - (a - 2) = 3 - a$$ 10. مقدار صورت در $x=-1$: $$ax = a(-1) = -a$$ 11. چون $x \to -1^-$ یعنی $x$ کمی کمتر از $-1$ است، مقدار $ax$ کمی بیشتر از $-a$ است (چون $a$ مثبت یا منفی است، باید بررسی کنیم). فرض کنیم $a < 4$ و $a$ عددی حقیقی است. 12. مقدار $\lfloor ax \rfloor$ نزدیک به $\lfloor -a \rfloor$ است. چون $x$ از چپ می‌آید و $a$ عددی حقیقی، مقدار $ax$ کمی بزرگتر از $-a$ است، پس: $$\lfloor ax \rfloor = \lfloor -a \rfloor$$ 13. حال دو حالت داریم: - اگر $3 - a > 0$ یعنی $a < 3$، مخرج مثبت است. - اگر $3 - a < 0$ یعنی $a > 3$، مخرج منفی است. 14. همچنین مقدار $\lfloor -a \rfloor$ عددی صحیح است که به $-a$ نزدیک است. 15. برای اینکه حد نهایی را بیابیم، باید مقدار عددی $a$ را طوری انتخاب کنیم که شرط‌های بالا برقرار باشد و حد اول نیز برقرار باشد. 16. از شرط $a < 4$ و $b = a - 2$ و برای حد اول، حال $a$ را عددی بین 3 و 4 انتخاب می‌کنیم (مثلاً $a=3.5$): - $b = 3.5 - 2 = 1.5$ - $3 - a = 3 - 3.5 = -0.5 < 0$ مخرج منفی است. - $ax = 3.5 \times (-1) = -3.5$ - $\lfloor -3.5 \rfloor = -4$ 17. پس حد دوم: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{\lfloor ax \rfloor}{bx + 1} = \frac{-4}{-0.5} = 8$$ 18. این مقدار در گزینه‌ها نیست. پس $a$ را کمتر از 3 انتخاب می‌کنیم، مثلاً $a=2$: - $b = 2 - 2 = 0$ - $3 - a = 3 - 2 = 1 > 0$ مخرج مثبت است. - $ax = 2 \times (-1) = -2$ - $\lfloor -2 \rfloor = -2$ 19. مخرج در $x=-1$: $$b(-1) + 1 = 0 \times (-1) + 1 = 1$$ 20. پس حد دوم: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{-2}{1} = -2$$ 21. این مقدار هم در گزینه‌ها نیست. حال $a=3$: - $b = 3 - 2 = 1$ - $3 - a = 0$ 22. مخرج در $x=-1$ صفر می‌شود، پس حد دوم ممکن است بی‌نهایت باشد. بررسی سمت چپ: - برای $x \to -1^-$، $bx + 1 = 1(x) + 1 = x + 1$ - وقتی $x \to -1^-$، $x + 1 \to 0^-$ (منفی کوچک) 23. صورت: $$ax = 3 \times (-1) = -3$$ $$\lfloor -3 \rfloor = -3$$ 24. پس حد دوم: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{-3}{x + 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-3}{0^-} = +\infty$$ 25. بنابراین پاسخ گزینه 2) $+\infty$ است. --- **پاسخ نهایی:** $$\boxed{+\infty}$$