1. مسئله: تابع $f(x) = \sqrt{x^{4} - x^{7}}$ را در نظر بگیرید و بررسی کنید که آیا در نقاط $x=0$ و $x=\pm 1$ حد دارد یا خیر. 2. ابتدا دامنه تابع را بررسی می‌کنیم. برای اینکه زیر رادیکال منفی نشود، باید داشته باشیم: $$x^{4} - x^{7} \geq 0$$ یا $$x^{4}(1 - x^{3}) \geq 0$$ 3. چون $x^{4} \geq 0$ برای همه $x$، شرط اصلی می‌شود: $$1 - x^{3} \geq 0 \Rightarrow x^{3} \leq 1$$ 4. بنابراین دامنه تابع: $$\{x \mid x^{3} \leq 1\} = (-\infty, 1]$$ 5. حال بررسی حدها: الف) حد در $x=0$: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \sqrt{x^{4} - x^{7}} = \sqrt{0 - 0} = 0$$ حد وجود دارد. ب) حد چپ در $x = -1$: از دامنه می‌دانیم $-1$ در دامنه است چون $(-1)^3 = -1 \leq 1$. حد چپ: $$\lim_{x \to -1^-} \sqrt{x^{4} - x^{7}}$$ برای $x < -1$، چون $x^{3} < -1$, شرط دامنه برقرار نیست، پس تابع تعریف نشده است و حد چپ وجود ندارد. پ) حد راست در $x=1$: حد راست: $$\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^{4} - x^{7}}$$ اما برای $x > 1$, $x^{3} > 1$ و تابع تعریف نشده است، پس حد راست وجود ندارد. 6. نتیجه: - حد در $x=0$ وجود دارد. - حد چپ در $x=-1$ وجود ندارد. - حد راست در $x=1$ وجود ندارد. 7. بنابراین فقط یک مورد از موارد داده شده درست است. پاسخ نهایی: 1