1. مسئله: بررسی حد تابع $$f(x) = \sqrt[3]{x - x^2}$$ در نقطه $$x=1$$ است. 2. فرمول و نکات مهم: برای بررسی حد در یک نقطه، باید حد چپ و حد راست را جداگانه محاسبه کنیم. اگر هر دو حد برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد. 3. محاسبه حد راست $$x \to 1^+$$: تابع داخل رادیکال: $$x - x^2 = x(1-x)$$. وقتی $$x \to 1^+$$، مقدار $$x$$ کمی بزرگتر از 1 است، پس $$1-x$$ منفی کوچک است. بنابراین $$x(1-x)$$ کمی منفی می‌شود. تابع $$f(x) = \sqrt[3]{x - x^2}$$ ریشه سوم است که برای اعداد منفی نیز تعریف شده و مقدار منفی می‌دهد. پس حد راست: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt[3]{x - x^2} = \sqrt[3]{0^-} = 0^-$$ یعنی نزدیک صفر از سمت منفی. 4. محاسبه حد چپ $$x \to 1^-$$: وقتی $$x \to 1^-$$، مقدار $$x$$ کمی کمتر از 1 است، پس $$1-x$$ مثبت کوچک است. بنابراین $$x(1-x)$$ کمی مثبت می‌شود. حد چپ: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \sqrt[3]{x - x^2} = \sqrt[3]{0^+} = 0^+$$ یعنی نزدیک صفر از سمت مثبت. 5. نتیجه: حد چپ و حد راست برابر نیستند (یکی از سمت مثبت و دیگری از سمت منفی به صفر نزدیک می‌شود). بنابراین حد در $$x=1$$ وجود ندارد، اما هر دو حد چپ و راست وجود دارند و متفاوتند. 6. پاسخ گزینه صحیح: گزینه ۳ ◉ فقط حد چپ دارد. (در واقع هر دو حد وجود دارند ولی متفاوت‌اند، پس حد کلی وجود ندارد.)