Bereken de volgende limieten stap voor stap: 7. $$\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}$$ 1. Schrijf de uitdrukking als $$\frac{\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x - 2}$$ 2. Dus de limiet is $$\lim_{x \to 2} \sqrt{x - 2} = 0$$ 8. $$\lim_{x \to \left(\frac{5}{2}\right)^+} \frac{\sqrt{2x - 5}}{\frac{5}{2} - x}$$ 1. Voor $$x > \frac{5}{2}$$ is $$2x - 5 > 0$$ en $$\frac{5}{2} - x < 0$$ 2. De teller nadert 0 van rechts, de noemer nadert 0 van links, dus de breuk nadert $$+\infty$$ 9. $$\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x - \sqrt{2}}}$$ 1. Voor $$x \to 2$$ is $$x - 2 \to 0$$ en $$x - \sqrt{2} > 0$$ 2. De teller nadert 0, de noemer nadert $$\sqrt{2 - \sqrt{2}} > 0$$ 3. Dus limiet is 0 10. $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1}$$ 1. Voor $$x \to 1$$ is $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ 2. Schrijf $$\frac{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}$$ 3. Limiet bestaat niet omdat $$\sqrt{x - 1}$$ nadert 0 van rechts en de uitdrukking divergeert naar $$+\infty$$ 11. $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^3 - 3x^2 + 5x - 14}{x - 2}$$ 1. Controleer of teller nul is bij $$x=2$$: $$2(8) - 3(4) + 10 - 14 = 16 - 12 + 10 - 14 = 0$$ 2. Gebruik afgeleide of deel door $$x-2$$: 3. Polynomium delen of afgeleide: $$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$$ 4. Afgeleide: $$6x^2 - 6x + 5$$ bij $$x=2$$ is $$6(4) - 12 + 5 = 24 - 12 + 5 = 17$$ 5. Limiet is 17 12. $$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x - 1} - 3}{x - 4}$$ 1. Gebruik geconjugeerde vermenigvuldiging: 2. $$\frac{\sqrt{2x - 1} - 3}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{2x - 1} + 3}{\sqrt{2x - 1} + 3} = \frac{2x - 1 - 9}{(x - 4)(\sqrt{2x - 1} + 3)} = \frac{2x - 10}{(x - 4)(\sqrt{2x - 1} + 3)}$$ 3. Factoriseer teller: $$2(x - 5)$$ 4. Limiet bestaat als $$x \to 4$$: 5. $$\lim_{x \to 4} \frac{2(x - 5)}{(x - 4)(\sqrt{2x - 1} + 3)} = \lim_{x \to 4} \frac{2(x - 5)}{(x - 4)(\sqrt{2x - 1} + 3)}$$ 6. Numeriek: noemer nadert 0, teller nadert $$2(-1) = -2$$, limiet divergeert naar $$\pm \infty$$ 13. $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{5x^2 - 4} - 4}{x - 2}$$ 1. Gebruik geconjugeerde vermenigvuldiging: 2. $$\frac{\sqrt{5x^2 - 4} - 4}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{5x^2 - 4} + 4}{\sqrt{5x^2 - 4} + 4} = \frac{5x^2 - 4 - 16}{(x - 2)(\sqrt{5x^2 - 4} + 4)} = \frac{5x^2 - 20}{(x - 2)(\sqrt{5x^2 - 4} + 4)}$$ 3. Factoriseer teller: $$5(x^2 - 4) = 5(x - 2)(x + 2)$$ 4. Vereenvoudig: 5. $$\frac{5(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(\sqrt{5x^2 - 4} + 4)} = \frac{5(x + 2)}{\sqrt{5x^2 - 4} + 4}$$ 6. Limiet bij $$x=2$$: 7. $$\frac{5(4)}{\sqrt{5(4) - 4} + 4} = \frac{20}{\sqrt{20 - 4} + 4} = \frac{20}{\sqrt{16} + 4} = \frac{20}{4 + 4} = \frac{20}{8} = 2.5$$ 14. $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sqrt{x}}{x^2 - 2x}$$ 1. Noemer factoriseren: $$x(x - 2)$$ 2. Voor kleine $$x$$ is noemer ongeveer $$-2x$$ 3. Teller is $$x^2 \sqrt{x} = x^{2 + 0.5} = x^{2.5}$$ 4. Limiet is $$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2.5}}{-2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1.5}}{-2} = 0$$ 15. $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x^2 + 3x - 10}$$ 1. Factoriseer noemer: $$(x - 2)(x + 5)$$ 2. Gebruik geconjugeerde vermenigvuldiging: 3. $$\frac{\sqrt{x + 7} - 3}{(x - 2)(x + 5)} \cdot \frac{\sqrt{x + 7} + 3}{\sqrt{x + 7} + 3} = \frac{x + 7 - 9}{(x - 2)(x + 5)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 5)(\sqrt{x + 7} + 3)}$$ 4. Vereenvoudig: 5. $$\frac{1}{(x + 5)(\sqrt{x + 7} + 3)}$$ 6. Limiet bij $$x=2$$: 7. $$\frac{1}{(7)(\sqrt{9} + 3)} = \frac{1}{7(3 + 3)} = \frac{1}{42}$$ 16. $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{4x + 1} - 3}$$ 1. Gebruik geconjugeerde vermenigvuldiging voor teller en noemer: 2. Teller: $$\sqrt{x} - \sqrt{2} = \frac{x - 2}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$$ 3. Noemer: $$\sqrt{4x + 1} - 3 = \frac{4x + 1 - 9}{\sqrt{4x + 1} + 3} = \frac{4x - 8}{\sqrt{4x + 1} + 3} = \frac{4(x - 2)}{\sqrt{4x + 1} + 3}$$ 4. De limiet wordt: 5. $$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{x - 2}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}}{\frac{4(x - 2)}{\sqrt{4x + 1} + 3}} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{4x + 1} + 3}{4(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} + 3}{4(\sqrt{x} + \sqrt{2})}$$ 6. Bij $$x=2$$: 7. $$\frac{\sqrt{9} + 3}{4(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 3}{4(2\sqrt{2})} = \frac{6}{8\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$$ 17. $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - px - 1}{x - 2} = q$$ 1. Voor limiet te bestaan, moet teller nul zijn bij $$x=2$$: 2. $$2^2 - 2p - 1 = 0 \Rightarrow 4 - 2p - 1 = 0 \Rightarrow 3 = 2p \Rightarrow p = \frac{3}{2}$$ 3. Limiet is dan de afgeleide bij $$x=2$$: 4. Afgeleide teller: $$2x - p$$ 5. Bij $$x=2$$: $$2(2) - \frac{3}{2} = 4 - 1.5 = 2.5$$ 6. Dus $$q = 2.5$$ 18. $$\lim_{x \to 1} \frac{2x - a}{x^2 + x - 2} = b$$ 1. Noemer factoriseren: $$(x - 1)(x + 2)$$ 2. Voor limiet te bestaan, moet teller nul zijn bij $$x=1$$: 3. $$2(1) - a = 0 \Rightarrow a = 2$$ 4. Limiet wordt: 5. $$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{x + 2} = \frac{2}{3}$$ 6. Dus $$b = \frac{2}{3}$$ q_count: 12