1. Vamos resolver a integral (a) $$\int \cos^5 x \sin^4 x \, dx$$. 2. Para integrais de potências de funções trigonométricas, usamos identidades trigonométricas e substituições. 3. Note que $$\cos^5 x = \cos^4 x \cos x = (\cos^2 x)^2 \cos x$$ e $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$. 4. Substituímos $$u = \sin x$$, então $$du = \cos x \, dx$$. 5. Reescrevendo a integral: $$\int \cos^5 x \sin^4 x \, dx = \int (1 - u^2)^2 u^4 \, du$$. 6. Expandindo: $$(1 - u^2)^2 u^4 = (1 - 2u^2 + u^4) u^4 = u^4 - 2u^6 + u^8$$. 7. A integral fica: $$\int (u^4 - 2u^6 + u^8) \, du = \int u^4 \, du - 2 \int u^6 \, du + \int u^8 \, du$$. 8. Calculando cada termo: $$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5}, \quad \int u^6 \, du = \frac{u^7}{7}, \quad \int u^8 \, du = \frac{u^9}{9}$$. 9. Portanto: $$\int \cos^5 x \sin^4 x \, dx = \frac{u^5}{5} - 2 \frac{u^7}{7} + \frac{u^9}{9} + C = \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2 \sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C$$. 10. Agora, para a integral (b): $$\int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x + 5}$$. 11. Usamos a substituição para expressar $$4 \sin x + 3 \cos x$$ como $$R \sin(x + \alpha)$$, onde $$R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$ e $$\alpha = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$$. 12. Assim, o denominador é $$5 \sin(x + \alpha) + 5 = 5 (\sin(x + \alpha) + 1)$$. 13. A integral fica: $$\int \frac{dx}{5 (\sin(x + \alpha) + 1)} = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\sin(x + \alpha) + 1}$$. 14. Fazemos a substituição $$t = \tan\left(\frac{x + \alpha}{2}\right)$$, com as fórmulas: $$\sin(x + \alpha) = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$$. 15. Substituindo na integral: $$\frac{1}{5} \int \frac{\frac{2}{1 + t^2} dt}{\frac{2t}{1 + t^2} + 1} = \frac{1}{5} \int \frac{2 dt}{(1 + t^2)(1 + \frac{2t}{1 + t^2})} = \frac{1}{5} \int \frac{2 dt}{(1 + t^2) + 2t}$$. 16. Simplificando o denominador: $$(1 + t^2) + 2t = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2$$. 17. A integral é: $$\frac{1}{5} \int \frac{2 dt}{(t + 1)^2} = \frac{2}{5} \int (t + 1)^{-2} dt$$. 18. Integrando: $$\int (t + 1)^{-2} dt = - (t + 1)^{-1} + C$$. 19. Portanto: $$\int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x + 5} = - \frac{2}{5 (t + 1)} + C = - \frac{2}{5 \left( \tan\left(\frac{x + \alpha}{2}\right) + 1 \right)} + C$$. 20. Resumo: (a) $$\int \cos^5 x \sin^4 x \, dx = \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2 \sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C$$. (b) $$\int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x + 5} = - \frac{2}{5 \left( \tan\left(\frac{x + \arctan(3/4)}{2}\right) + 1 \right)} + C$$.