1. Calculați integralale definite: 1.a) Calculați $$\int_0^3 \frac{dx}{x^2 + 3x + 2}$$. 1. Factorizăm numitorul: $$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$$. 2. Facem descompunere în fracții simple: $$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$$. 3. Egalăm numărătorii: $$1 = A(x+2) + B(x+1) = (A+B)x + (2A + B)$$. 4. Sistemul de ecuații: $$\begin{cases} A + B = 0 \\ 2A + B = 1 \end{cases}$$ 5. Din prima: $$B = -A$$. 6. Înlocuind în a doua: $$2A - A = 1 \Rightarrow A = 1$$, deci $$B = -1$$. 7. Integrală devine: $$\int_0^3 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = \left[ \ln|x+1| - \ln|x+2| \right]_0^3$$. 8. Calculăm valorile: $$= \ln 4 - \ln 5 - (\ln 1 - \ln 2) = \ln 4 - \ln 5 - 0 + \ln 2 = \ln\left( \frac{4 \cdot 2}{5} \right) = \ln \frac{8}{5}$$. Răspuns: $$\int_0^3 \frac{dx}{x^2+3x+2} = \ln \frac{8}{5}$$. 1.b) Calculați $$\int_1^3 \frac{2x-3}{|x-2| + 1} dx$$. 2. Observăm că funcția modulului schimbă expresia la $$x=2$$, deci împărțim integrală: $$\int_1^3 = \int_1^2 + \int_2^3$$. 3. Pentru $$1 \leq x < 2$$: $$|x-2| = 2 - x$$, deci integrandul este: $$\frac{2x-3}{(2 - x) +1} = \frac{2x - 3}{3 - x}$$. 4. Pentru $$2 \leq x \leq 3$$: $$|x-2| = x - 2$$, deci integrandul este: $$\frac{2x - 3}{(x - 2) + 1} = \frac{2x - 3}{x - 1}$$. 5. Calculăm $$I_1 = \int_1^2 \frac{2x - 3}{3 - x} dx$$. Schimbăm variabila: $$u = 3 - x \Rightarrow du = -dx$$; când $$x = 1 \Rightarrow u=2$$, când $$x=2 \Rightarrow u=1$$. 6. Integrală devine: $$I_1 = \int_{u=2}^1 \frac{2(3 - u) - 3}{u} (-du) = \int_1^2 \frac{6 - 2u - 3}{u} du = \int_1^2 \frac{3 - 2u}{u} du = \int_1^2 \left( \frac{3}{u} - 2 \right) du$$. 7. Calculăm: $$I_1 = \left[ 3 \ln|u| - 2u \right]_1^2 = \left( 3 \ln 2 - 4 \right) - \left( 0 - 2 \right) = 3 \ln 2 - 4 + 2 = 3 \ln 2 - 2$$. 8. Calculăm $$I_2 = \int_2^3 \frac{2x - 3}{x - 1} dx$$. Scriem ca $$I_2 = \int_2^3 \frac{2x - 3}{x - 1} dx$$. 9. Împărțim expresia: $$\frac{2x - 3}{x - 1} = 2 + \frac{-1}{x - 1}$$ deoarece $$2(x-1) = 2x - 2$$, iar diferența este $$(-3) - (-2) = -1$$. 10. Astfel, $$I_2 = \int_2^3 \left( 2 - \frac{1}{x - 1} \right) dx = \left[ 2x - \ln|x - 1| \right]_2^3 = (6 - \ln 2) - (4 - \ln 1) = 2 - \ln 2$$. 11. Deci, $$\int_1^3 \frac{2x - 3}{|x - 2| + 1} dx = I_1 + I_2 = (3 \ln 2 - 2) + (2 - \ln 2) = 2 \ln 2$$. 2. Rezolvați inecuația $$\int_0^1 (2 t^3 x - t^2) dx \geq 0$$ pentru $$x \in \mathbb{R}$$. 1. Calculăm integrală în funcție de $$x$$: $$\int_0^1 (2 t^3 x - t^2) dx = \int_0^1 2 t^3 x dx - \int_0^1 t^2 dx$$. 2. Fiecare integrare se face față de $$x$$, $$t$$ este constant: $$\int_0^1 2 t^3 x dx = 2 t^3 \int_0^1 x dx = 2 t^3 \cdot \frac{1}{2} = t^3$$. $$\int_0^1 t^2 dx = t^2 \int_0^1 dx = t^2$$. 3. Deci integrală este: $$t^3 - t^2 = t^2 (t - 1)$$. 4. Inecuația devine: $$t^2 (t - 1) \geq 0$$. 5. Deoarece $$t^2 \geq 0$$ pentru orice $$t$$, $$t - 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq 1$$. 6. Așadar, pentru $$x$$ real, integrală și inecuația nu depind de $$x$$, ci de $$t$$. Interpretare posibilă: dacă există o confuzie, probabil $$t$$ este variabil de integrare și $$x$$ parametru. Dacă integrală este în $$x$$ de la 0 la 1, formularea pare eronată: integrală expresie cu $$t$$ și $$x$$ variabil. Dacă cerința este să rezolvăm pentru $$x$$ integrală în $$t$$ după cum urmează: $$\int_0^1 (2 t^3 x - t^2) dt \geq 0$$ atunci: $$\int_0^1 2 t^3 x dt - \int_0^1 t^2 dt = 2 x \int_0^1 t^3 dt - \int_0^1 t^2 dt = 2 x \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \geq 0$$ Rezolvăm: $$\frac{x}{2} \geq \frac{1}{3} \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$$. Aceasta este soluția corectă. 3. Pentru care $$a \in \mathbb{R}$$ valoarea acestei integrale este egală cu 8: $$\int_1^2 \left( \frac{2a}{x^2} + a^2 x \right) dx = 8$$. 1. Separam integrală: $$\int_1^2 \frac{2a}{x^2} dx + \int_1^2 a^2 x dx = 8$$. 2. Calculăm fiecare integrală: $$\int_1^2 \frac{2a}{x^2} dx = 2a \int_1^2 x^{-2} dx = 2a \left[ -x^{-1} \right]_1^2 = 2a (-\frac{1}{2} + 1) = 2a \cdot \frac{1}{2} = a$$. $$\int_1^2 a^2 x dx = a^2 \int_1^2 x dx = a^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = a^2 \cdot \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = a^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} a^2$$. 3. Egalăm: $$a + \frac{3}{2} a^2 = 8$$. 4. Mutăm totul într-o parte: $$\frac{3}{2} a^2 + a - 8 = 0$$. 5. Înmulțim cu 2: $$3 a^2 + 2 a - 16 = 0$$. 6. Rezolvăm ecuația de gradul 2: $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$$. 7. Soluții: $$a_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad a_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$$. 4. Determinați valoarea minimă a funcției $$f(x) = \int_0^x (t - 1)(t - 2)^2 dt$$, $$x > 0$$. 1. Derivăm funcția folosind Teorema fundamentală a calculului: $$f'(x) = (x - 1)(x - 2)^2$$. 2. Găsim punctele critice rezolvând: $$f'(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2)^2 = 0$$. 3. Soluțiile sunt: $$x = 1$$ sau $$x = 2$$. 4. Dăm semnul lui $$f'(x)$$ pe intervale: - Pentru $$0 < x < 1$$: $$x-1 < 0$$, $$(x-2)^2 > 0$$, deci $$f'(x) < 0$$ (funcția descrescătoare). - Pentru $$1 < x < 2$$: $$x - 1 > 0$$, $$(x-2)^2 > 0$$, deci $$f'(x) > 0$$ (funcția crescătoare). - Pentru $$x > 2$$: $$x-1 > 0$$, $$(x-2)^2 > 0$$, deci $$f'(x) > 0$$ (funcția crescătoare). 5. Deci la $$x=1$$ este un minim local. 6. Calculăm valoarea minimă: $$f(1) = \int_0^1 (t -1)(t - 2)^2 dt$$. 7. Expandează integrandul: $$(t -1)(t -2)^2 = (t -1)(t^2 - 4t + 4) = t^3 - 4t^2 + 4t - t^2 + 4t -4 = t^3 - 5 t^2 + 8 t -4$$. 8. Integrăm: $$f(1) = \int_0^1 (t^3 - 5 t^2 + 8 t -4) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{5 t^3}{3} + 4 t^2 - 4 t \right]_0^1$$. 9. Valoarea în 1: $$\frac{1}{4} - \frac{5}{3} + 4 - 4 = \frac{1}{4} - \frac{5}{3} + 0 = \frac{1}{4} - \frac{5}{3} = \frac{3 - 20}{12} = -\frac{17}{12}$$. 10. Valoarea în 0 este 0, deci: $$f(1) = -\frac{17}{12}$$. Aceasta este valoarea minimă a funcției pentru $$x > 0$$. Răspuns final: 1.a) $$\ln \frac{8}{5}$$ 1.b) $$2 \ln 2$$ 2) $$x \geq \frac{2}{3}$$ 3) $$a = 2$$ sau $$a = -\frac{8}{3}$$ 4) Valoarea minimă este $$-\frac{17}{12}$$ la $$x=1$$.