1. نگاهی به مسئله: باید انتگرال $$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$$ را محاسبه کنیم. 2. فرمول و قانون مهم: برای انتگرال‌هایی که صورت کسر مشتق مخرج یا بخشی از آن است، می‌توان از جایگزینی استفاده کرد. در اینجا، اگر $$u = 1 + x^2$$ بگیریم، مشتق $$u$$ برابر $$du = 2x \, dx$$ است. 3. جایگزینی: از آنجا که $$du = 2x \, dx$$، پس $$x \, dx = \frac{du}{2}$$. 4. انتگرال به صورت $$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du$$ تبدیل می‌شود. 5. انتگرال $$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$$ است. 6. پس جواب نهایی: $$\frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C$$ که $$C$$ ثابت انتگرال است.