1. Задача: Обчислити визначений інтеграл $$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x}$$. 2. Формула: Використаємо, що $$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$$, а первісна функція для $$\csc^2 x$$ є $$-\cot x + C$$. 3. Обчислення: $$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$$. 4. Застосуємо межі інтегрування: $$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cot \frac{\pi}{3} + \cot \left(-\frac{\pi}{6}\right)$$. 5. Обчислимо значення: - $$\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. - $$\cot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\cot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3}$$ (оскільки котангенс непарна функція). 6. Підставляємо: $$-\frac{1}{\sqrt{3}} + (-\sqrt{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = -\frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}$$. 7. Відповідь: $$\boxed{-\frac{4}{\sqrt{3}}}$$.