1. لنبدأ بفهم المعطيات: لدينا معلومة $\cos 2 = 3\sqrt{2}$ وقيمة أخرى $\frac{\pi}{4} = 2$. 2. المطلوب هو إيجاد قيمة التكامل $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x \sin x)\, dx$$. 3. نلاحظ أن الأسئلة تحتوي على عدم وضوح في الصياغة وقيم غير منطقية مثل $\cos 2 = 3\sqrt{2}$ وهذا غير ممكن لأن قيمة $\cos$ لأي عدد حقيقي تكون بين $-1$ و$1$. 4. لذلك، سأركز فقط على الجزء الأخير وهو إيجاد التكامل من $\frac{\pi}{4}$ إلى $\frac{\pi}{2}$ للدالة $\sin x + \cos x \sin x$. 5. نكتب التكامل: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x \sin x)\, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1 + \cos x)\, dx$$ 6. نستخدم التوزيع: $$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x\, dx$$ 7. نحسب الجزء الأول: $$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$$ 8. نحسب الجزء الثاني باستخدام التعويض: نضع $u = \cos x$ إذن $du = -\sin x dx$ أو $-du = \sin x dx$. 9. إذا: $$\int \sin x \cos x dx = -\int u du = -\frac{u^2}{2} + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + C$$ 10. إذن التكامل الكامل: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \sin x \cos x) dx = \left[-\cos x - \frac{\cos^2 x}{2}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$$ 11. حساب نهاية التكامل عند النقاط: عند $x=\frac{\pi}{2}$: $$-\cos \frac{\pi}{2} - \frac{\cos^2 \frac{\pi}{2}}{2} = -0 - \frac{0}{2} = 0$$ عند $x=\frac{\pi}{4}$: $$-\cos \frac{\pi}{4} - \frac{\cos^2 \frac{\pi}{4}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4}$$ 12. الفرق هو: $$0 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}$$ ‫النتيجة النهائية للتكامل هي‬ $$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}$$.