1. Masalah: Kita akan membahas konsep integral Riemann, yaitu metode untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi pada interval tertentu. 2. Rumus dasar integral Riemann adalah $$\int_a^b f(x) \, dx$$ yang merepresentasikan luas di bawah kurva fungsi $f(x)$ dari $x=a$ sampai $x=b$. 3. Integral Riemann didefinisikan sebagai limit dari jumlah Riemann ketika jumlah partisi mendekati tak hingga: $$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$ di mana $\Delta x_i$ adalah panjang subinterval dan $x_i^*$ adalah titik sampel dalam subinterval tersebut. 4. Langkah-langkah menghitung integral Riemann: - Bagi interval $[a,b]$ menjadi $n$ subinterval dengan panjang $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. - Pilih titik sampel $x_i^*$ di setiap subinterval. - Hitung nilai fungsi $f(x_i^*)$ pada titik sampel. - Jumlahkan hasil perkalian $f(x_i^*) \Delta x$ untuk semua subinterval. - Ambil limit jumlah tersebut saat $n \to \infty$. 5. Contoh sederhana: Hitung integral Riemann dari $f(x) = x^2$ pada interval $[0,1]$. - $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$. - Titik sampel kanan: $x_i^* = \frac{i}{n}$. - Jumlah Riemann: $S_n = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2$. - Gunakan rumus jumlah kuadrat: $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. - Jadi, $S_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$. - Ambil limit saat $n \to \infty$: $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$. 6. Jadi, integral Riemann dari $f(x) = x^2$ pada $[0,1]$ adalah $$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$$. Integral Riemann membantu kita memahami luas di bawah kurva dengan pendekatan jumlah yang semakin halus hingga mendekati nilai sebenarnya.