1. Diketahui integral $$\int_2^p (3x - 2) \, dx = 18$$. Tentukan nilai $$p$$ yang memenuhi. 2. Tentukan nilai dari integral $$\int_0^2 (4x^2 + 3x + 1) \, dx$$. 3. Jika $$\int_{-1}^3 (2x + p) \, dx = 20$$, tentukan nilai $$p$$. 4. Diketahui $$\int_1^5 (6x - p) \, dx = 30$$. Tentukan nilai $$p$$. 5. Hitung nilai dari integral $$\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx$$. 6. Jika $$\int_0^p (2x + 5) \, dx = 30$$, tentukan nilai $$p$$. 7. Diketahui $$\int_{-2}^p (x^2 + 3x) \, dx = 12$$. Tentukan nilai $$p$$. --- **Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan integral tentu:** 1. Gunakan rumus integral dasar: $$\int (ax^n) \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C$$. 2. Hitung integral tak tentu dari fungsi di dalam integral. 3. Evaluasi integral tentu dengan substitusi batas atas dan bawah: $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$, di mana $$F(x)$$ adalah integral tak tentu. 4. Jika ada parameter $$p$$, gunakan persamaan hasil integral untuk mencari nilai $$p$$. --- ### Penyelesaian: **1. Integral $$\int_2^p (3x - 2) \, dx = 18$$** Integral tak tentu: $$ \int (3x - 2) \, dx = \frac{3}{2} x^2 - 2x + C $$ Evaluasi integral tentu: $$ \left( \frac{3}{2} p^2 - 2p \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 \right) = 18 $$ Hitung batas bawah: $$ \frac{3}{2} \cdot 4 - 4 = 6 - 4 = 2 $$ Jadi: $$ \frac{3}{2} p^2 - 2p - 2 = 18 $$ Sederhanakan: $$ \frac{3}{2} p^2 - 2p = 20 $$ Kalikan kedua sisi dengan 2: $$ 3 p^2 - 4p = 40 $$ Bentuk persamaan kuadrat: $$ 3 p^2 - 4p - 40 = 0 $$ Gunakan rumus kuadrat: $$ p = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 480}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{496}}{6} $$ $$ \sqrt{496} = \sqrt{16 \cdot 31} = 4 \sqrt{31} $$ Jadi: $$ p = \frac{4 \pm 4 \sqrt{31}}{6} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{3} $$ Nilai $$p$$ yang memenuhi adalah: $$ p = \frac{2 + 2 \sqrt{31}}{3} \quad \text{atau} \quad p = \frac{2 - 2 \sqrt{31}}{3} $$ **2. Integral $$\int_0^2 (4x^2 + 3x + 1) \, dx$$** Integral tak tentu: $$ \int (4x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C $$ Evaluasi: $$ \left( \frac{4}{3} \cdot 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 \right) - \left( 0 \right) $$ Hitung: $$ \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 + 2 = \frac{32}{3} + 6 + 2 = \frac{32}{3} + 8 = \frac{32 + 24}{3} = \frac{56}{3} $$ Jadi nilai integral adalah $$\frac{56}{3}$$. **3. Integral $$\int_{-1}^3 (2x + p) \, dx = 20$$, cari $$p$$. Integral tak tentu: $$ \int (2x + p) \, dx = x^2 + p x + C $$ Evaluasi: $$ (3^2 + 3p) - ((-1)^2 + (-1)p) = 20 $$ Hitung: $$ (9 + 3p) - (1 - p) = 20 $$ Sederhanakan: $$ 9 + 3p - 1 + p = 20 \Rightarrow 8 + 4p = 20 $$ $$ 4p = 12 \Rightarrow p = 3 $$ **4. Integral $$\int_1^5 (6x - p) \, dx = 30$$, cari $$p$$. Integral tak tentu: $$ \int (6x - p) \, dx = 3x^2 - p x + C $$ Evaluasi: $$ (3 \cdot 5^2 - p \cdot 5) - (3 \cdot 1^2 - p \cdot 1) = 30 $$ Hitung: $$ (75 - 5p) - (3 - p) = 30 $$ Sederhanakan: $$ 75 - 5p - 3 + p = 30 \Rightarrow 72 - 4p = 30 $$ $$ -4p = 30 - 72 = -42 \Rightarrow p = \frac{42}{4} = 10.5 $$ **5. Integral $$\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx$$ Integral tak tentu: $$ \int (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{x^2}{2} + C $$ Evaluasi: $$ \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} $$ Samakan penyebut: $$ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12} $$ Jadi nilai integral adalah $$\frac{17}{12}$$. **6. Integral $$\int_0^p (2x + 5) \, dx = 30$$, cari $$p$$. Integral tak tentu: $$ \int (2x + 5) \, dx = x^2 + 5x + C $$ Evaluasi: $$ (p^2 + 5p) - 0 = 30 $$ Persamaan: $$ p^2 + 5p - 30 = 0 $$ Gunakan rumus kuadrat: $$ p = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 120}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{145}}{2} $$ **7. Integral $$\int_{-2}^p (x^2 + 3x) \, dx = 12$$, cari $$p$$. Integral tak tentu: $$ \int (x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C $$ Evaluasi: $$ \left( \frac{p^3}{3} + \frac{3 p^2}{2} \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + \frac{3 (-2)^2}{2} \right) = 12 $$ Hitung batas bawah: $$ \frac{-8}{3} + \frac{3 \cdot 4}{2} = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3} $$ Jadi: $$ \frac{p^3}{3} + \frac{3 p^2}{2} - \frac{10}{3} = 12 $$ Sederhanakan: $$ \frac{p^3}{3} + \frac{3 p^2}{2} = 12 + \frac{10}{3} = \frac{36}{3} + \frac{10}{3} = \frac{46}{3} $$ Kalikan kedua sisi dengan 6: $$ 2 p^3 + 9 p^2 = 92 $$ Persamaan kubik: $$ 2 p^3 + 9 p^2 - 92 = 0 $$ Nilai $$p$$ dapat dicari dengan metode numerik atau faktorisasi lebih lanjut. --- **Jawaban akhir:** 1. $$p = \frac{2 + 2 \sqrt{31}}{3}$$ atau $$p = \frac{2 - 2 \sqrt{31}}{3}$$ 2. $$\frac{56}{3}$$ 3. $$p = 3$$ 4. $$p = 10.5$$ 5. $$\frac{17}{12}$$ 6. $$p = \frac{-5 \pm \sqrt{145}}{2}$$ 7. $$p$$ memenuhi $$2 p^3 + 9 p^2 - 92 = 0$$