1. **Planteamiento del problema:** Calcular el área bajo la curva de la función $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ en el intervalo $[0,3]$ usando la integral definida $$\int_0^3 (3x^2 - 4x + 1) \, dx.$$\n\n2. **Fórmula y reglas importantes:** La integral definida de una función $f(x)$ en $[a,b]$ se calcula como $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a),$$ donde $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, es decir, $F'(x) = f(x)$.\n\n3. **Encontrar la antiderivada:**\n\nPara $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$, integramos término a término:\n$$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3,$$\n$$\int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2,$$\n$$\int 1 \, dx = x.$$\n\nPor lo tanto, la antiderivada es $$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C,$$ donde $C$ es constante que se cancela en la integral definida.\n\n4. **Evaluar la integral definida:**\n\nCalculamos $$F(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12,$$\n$$F(0) = 0 - 0 + 0 = 0.$$\n\nEntonces, $$\int_0^3 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12.$$\n\n5. **Interpretación:** El área bajo la curva $f(x)$ desde $x=0$ hasta $x=3$ es 12 unidades cuadradas.\n\n**Respuesta final:** $$\boxed{12}.$$