1. **Тодорхой интегралын асуудал 22:**\n\nӨгөгдсөн: $g(x) = \int_a^x f(t) dt$, $f$ функцийн графикаар өгөгдсөн.\n\n(а) $g(x)$ функцийн максимум, минимум утгуудыг олох:\n\n- $g'(x) = f(x)$ гэдгийг санах хэрэгтэй.\n- Максимум, минимум утгууд нь $g'(x) = 0$ буюу $f(x) = 0$ болох цэгүүдэд тохиолдоно.\n- $f(x)$ графикаас $x$-ийн ямар утганд $f(x)=0$ болохыг олж, $f(x)$-ийн тэмдэг өөрчлөгдөж байгаа эсэхийг шалгана.\n\n(б) $g(x)$ функцийн хамгийн их утга:\n\n- $g(x)$-ийн хамгийн их утга нь $g(x)$-ийн өсөлтөөс бууралтад шилжих цэг буюу $f(x)$-ийн тэмдэг өөрчлөгдөх цэг дээр байна.\n- Графикаас $f(x)$-ийн эерэгээс сөрөг рүү шилжих цэгүүдийг олно.\n\n(в) $g(x)$ функцийн гүдгэр байдал:\n\n- $g''(x) = f'(x)$\n- $g(x)$ гүдгэр байх нь $g''(x) > 0$ буюу $f'(x) > 0$ байх үед тохионо.\n- $f(x)$-ийн өсөлттэй хэсгүүдийг графикаас олно.\n\n(г) $g(x)$ функцийн графикийг тоймлон зурна.\n\n2. **Асуудал 23:**\n\n$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( \frac{i^4}{n^5} + \frac{i}{n^2} \right)$$\n\n- Риманы нийлбэрийн хязгаар олно.\n- Хоёр нийлбэрийг тусад нь авч үзнэ:\n$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i^4}{n^5} + \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}$$\n- Эхний нийлбэр нь $\int_0^1 x^4 dx = \frac{1}{5}$\n- Хоёр дахь нь $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$\n- Нийт хязгаар: $\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10}$\n\n3. **Асуудал 24:**\n\n$$6 + \int_a^x \frac{f(t)}{t^2} dt = 2\sqrt{x}$$\n\n- Тэгшитгэлийг $x$-ээр дифференциалжуулна:\n$$\frac{d}{dx} \left(6 + \int_a^x \frac{f(t)}{t^2} dt \right) = \frac{d}{dx} (2\sqrt{x})$$\n\n- Зүүн талын дифференциал нь:\n$$\frac{f(x)}{x^2}$$\n- Баруун талын дифференциал нь:\n$$\frac{d}{dx} 2x^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = x^{-1/2}$$\n\n- Тэгэхээр:\n$$\frac{f(x)}{x^2} = x^{-1/2} \Rightarrow f(x) = x^{3/2}$$\n\n- $a$-г олохын тулд $x=a$-г оруулж, анхны тэгшитгэлийг ашиглана:\n$$6 + \int_a^a \frac{f(t)}{t^2} dt = 2\sqrt{a} \Rightarrow 6 = 2\sqrt{a} \Rightarrow \sqrt{a} = 3 \Rightarrow a = 9$$\n\n4. **Асуудал 25:**\n\n$$\int_0^1 x \left( \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} \right) dx = \int_0^1 x \cdot x^{1/3} dx + \int_0^1 x \cdot x^{1/4} dx$$\n\n- Нэгтгэнэ:\n$$= \int_0^1 x^{4/3} dx + \int_0^1 x^{5/4} dx$$\n\n- Интеграл бодно:\n$$= \left[ \frac{3}{7} x^{7/3} \right]_0^1 + \left[ \frac{4}{9} x^{9/4} \right]_0^1 = \frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{27}{63} + \frac{28}{63} = \frac{55}{63}$$\n\n5. **Асуудал 26:**\n\n$$\int_{-1}^2 (x - 2|x|) dx = \int_{-1}^0 (x - 2(-x)) dx + \int_0^2 (x - 2x) dx$$\n\n- $x<0$ үед $|x| = -x$, $x \geq 0$ үед $|x|=x$\n\n- Нэгдсэн интеграл:\n$$= \int_{-1}^0 (x + 2x) dx + \int_0^2 (x - 2x) dx = \int_{-1}^0 3x dx + \int_0^2 (-x) dx$$\n\n- Интеграл бодно:\n$$= \left[ \frac{3}{2} x^2 \right]_{-1}^0 + \left[ -\frac{1}{2} x^2 \right]_0^2 = \left(0 - \frac{3}{2} \right) + \left(-2 - 0 \right) = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$$\n\n6. **Асуудал 27:**\n\n$$\int_0^{120} r(t) dt$$\n\n- Энэ интеграл нь газрын тосны савнаас $0$-ээс $120$ минутын хугацаанд гоожсон нийт галлоны хэмжээг илэрхийлнэ.\n\n---\n\n"slug": "integral problems","subject": "calculus","desmos": {"latex": "y=f(t)","features": {"intercepts": true,"extrema": true}},"q_count": 6