1. Diberikan fungsi $f(x)=3x^5-5x^3+1$. Kita diminta menentukan interval di mana fungsi meningkat, menurun, konkaf ke atas, konkaf ke bawah, serta titik maksimum lokal/global, minimum lokal/global, dan titik belok. 2. Turunan pertama $f'(x)$ digunakan untuk menentukan interval naik dan turun serta titik ekstrem (maksimum dan minimum lokal). Turunan kedua $f''(x)$ digunakan untuk menentukan interval konkaf dan titik belok. 3. Hitung turunan pertama: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 + 1) = 15x^4 - 15x^2$$ 4. Cari titik kritis dengan menyamakan turunan pertama dengan nol: $$15x^4 - 15x^2 = 0 \Rightarrow 15x^2(x^2 - 1) = 0$$ Sehingga: $$x=0, x=\pm 1$$ 5. Tentukan tanda $f'(x)$ di interval $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, dan $(1, \infty)$: - Untuk $x < -1$, misal $x=-2$: $f'(-2) = 15(16) - 15(4) = 240 - 60 = 180 > 0$ (naik) - Untuk $-1 < x < 0$, misal $x=-0.5$: $f'(-0.5) = 15(0.0625) - 15(0.25) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 < 0$ (turun) - Untuk $0 < x < 1$, misal $x=0.5$: $f'(0.5) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 < 0$ (turun) - Untuk $x > 1$, misal $x=2$: $f'(2) = 240 - 60 = 180 > 0$ (naik) 6. Jadi, fungsi meningkat pada interval $(-\infty, -1)$ dan $(1, \infty)$, menurun pada $(-1, 0)$ dan $(0, 1)$. 7. Hitung turunan kedua: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(15x^4 - 15x^2) = 60x^3 - 30x = 30x(2x^2 - 1)$$ 8. Cari titik belok dengan menyamakan turunan kedua dengan nol: $$30x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 9. Tentukan tanda $f''(x)$ di interval $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$, $(0, \frac{1}{\sqrt{2}})$, dan $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$: - Untuk $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$, misal $x=-1$: $f''(-1) = 30(-1)(2 - 1) = -30 < 0$ (konkaf ke bawah) - Untuk $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 0$, misal $x=-0.5$: $f''(-0.5) = 30(-0.5)(2(0.25) - 1) = 30(-0.5)(0.5 - 1) = 30(-0.5)(-0.5) = 7.5 > 0$ (konkaf ke atas) - Untuk $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$, misal $x=0.5$: $f''(0.5) = 7.5 > 0$ (konkaf ke atas) - Untuk $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$, misal $x=1$: $f''(1) = 30(1)(2 - 1) = 30 > 0$ (konkaf ke bawah) 10. Jadi, fungsi konkaf ke bawah pada $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ dan $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$, konkaf ke atas pada $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ dan $(0, \frac{1}{\sqrt{2}})$. 11. Tentukan jenis titik kritis dengan menggunakan turunan kedua: - $x=-1$: $f''(-1) = -30 < 0$ maka $f$ memiliki maksimum lokal di $x=-1$ - $x=0$: $f''(0) = 0$ tidak dapat disimpulkan langsung, periksa tanda $f'(x)$ di sekitar $0$ (turun ke turun, bukan ekstrem) - $x=1$: $f''(1) = 30 > 0$ maka $f$ memiliki minimum lokal di $x=1$ 12. Hitung nilai fungsi di titik ekstrem: - $f(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = -3 + 5 + 1 = 3$ - $f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1$ 13. Titik belok terjadi di $x=0$ dan $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. 14. Kesimpulan: - Fungsi meningkat pada $(-\infty, -1)$ dan $(1, \infty)$ - Fungsi menurun pada $(-1, 0)$ dan $(0, 1)$ - Fungsi konkaf ke bawah pada $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ dan $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ - Fungsi konkaf ke atas pada $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ dan $(0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ - Maksimum lokal di $x=-1$ dengan nilai $f(-1)=3$ - Minimum lokal di $x=1$ dengan nilai $f(1)=-1$ - Titik belok di $x=0$ dan $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$