1. 問題陳述：分析並繪製函數 $f(x) = x^3 - 4x^{2/3}$ 的圖形，定義域為 $x \in \mathbb{R}$。 2. 公式與規則： - 導數用於找臨界點與函數的增減性：$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3 - 4x^{2/3}\right)$。 - 第二導數用於判斷凹凸性與拐點：$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}f(x)$。 - 注意 $x^{2/3} = (x^2)^{1/3}$，對負數 $x$ 也有定義。 3. 求導： $$f'(x) = 3x^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = 3x^2 - \frac{8}{3} x^{-1/3}$$ 4. 找臨界點：令 $f'(x) = 0$， $$3x^2 = \frac{8}{3} x^{-1/3} \implies 3x^2 \cdot x^{1/3} = \frac{8}{3} \implies 3x^{7/3} = \frac{8}{3}$$ 5. 解 $x^{7/3} = \frac{8}{9}$， $$x = \left(\frac{8}{9}\right)^{3/7}$$ 6. 第二導數： $$f''(x) = 6x + \frac{8}{9} x^{-4/3}$$ 7. 判斷臨界點的凹凸性以確定極值類型。 8. 畫圖時注意函數在 $x=0$ 處的行為，因為 $x^{-1/3}$ 在 $0$ 處趨近無限大，函數可能有尖點或不連續。 9. 總結： - 函數在 $x=0$ 處有特殊行為。 - 臨界點為 $x = \left(\frac{8}{9}\right)^{3/7}$。 - 函數形狀由導數與二階導數決定。 最終函數為 $$y = x^3 - 4x^{2/3}$$。