1. **مقدمة للمشكلة:** لدينا الدالة $$f(x) = \frac{2a - x^2}{x}$$ حيث $$a > 0$$ و $$x \neq 0$$. المطلوب: - إيجاد خطوط التقارب المعامدة للمحورين. - إثبات أن الدالة فردية. - حساب نقاط تقاطع الدالة مع المحورين. - تحديد مجالات التصاعد والتنازل. - تحديد مجالات التقعر. - رسم تقريبي للدالة $$f(x)$$. - رسم تقريبي للدالة $$g(x) = |f(x) - b|$$ حيث $$b > 0$$. - معرفة نقطة قصوى للدالة $$g(x)$$ عند (3, -8) وحساب قيم $$a$$ و $$b$$. - دراسة نوع النقطة القصوى للدالة $$s(x) = \int_1^x g(t) dt$$. 2. **خطوات الحل:** **(1) خطوط التقارب:** - التقارب العمودي عند $$x=0$$ لأن المقام صفر. - التقارب الأفقي: نحسب $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2a - x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2a}{x} - x\right) = -\infty$$، لا يوجد تقارب أفقي. - التقارب عند $$x \to 0^+$$ و $$x \to 0^-$$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2a - x^2}{x} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2a - x^2}{x} = -\infty$$ **(2) إثبات فردية الدالة:** - نتحقق من $$f(-x) = \frac{2a - (-x)^2}{-x} = \frac{2a - x^2}{-x} = -f(x)$$ - إذًا $$f(x)$$ دالة فردية. **(3) نقاط التقاطع:** - مع محور الصادات (عندما $$x=0$$) غير معرفة. - مع محور السينات (عندما $$f(x)=0$$): $$\frac{2a - x^2}{x} = 0 \Rightarrow 2a - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2a}$$ **(4) مجالات التصاعد والتنازل:** - نحسب المشتقة: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2a - x^2}{x} \right) = \frac{-2x \cdot x - (2a - x^2) \cdot 1}{x^2} = \frac{-2x^2 - 2a + x^2}{x^2} = \frac{-x^2 - 2a}{x^2}$$ - حيث $$x^2 > 0$$ و $$a > 0$$، إذًا $$f'(x) < 0$$ دائمًا. - إذًا الدالة تنازلية في مجالها. **(5) مجال التقعر:** - نحسب المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-x^2 - 2a}{x^2} \right)$$ - نعيد كتابة: $$f'(x) = -1 - \frac{2a}{x^2}$$ - إذًا: $$f''(x) = 0 + \frac{4a}{x^3} = \frac{4a}{x^3}$$ - إذا $$x > 0$$، $$f''(x) > 0$$ (تقعر لأعلى). - إذا $$x < 0$$، $$f''(x) < 0$$ (تقعر لأسفل). **(6) رسم تقريبي للدالة $$f(x)$$:** - دالة فردية. - تنازلية. - تقارب عمودي عند $$x=0$$. - نقاط تقاطع عند $$x= \pm \sqrt{2a}$$. - تقعر لأعلى عند $$x > 0$$، تقعر لأسفل عند $$x < 0$$. **(7) الدالة $$g(x) = |f(x) - b|$$ حيث $$b > 0$$:** - الدالة معرفة في نفس مجال $$f(x)$$. - نقطة قصوى معطاة عند (3, -8) أي: $$g(3) = -8$$ - لكن $$g(x) = |f(x) - b| \geq 0$$ دائمًا، إذًا هناك خطأ في المعطى أو المقصود هو $$g(x) = |f(x)| - b$$. **(8) حساب $$a$$ و $$b$$:** - نفترض $$g(x) = |f(x)| - b$$. - عند النقطة القصوى (3, -8): $$g(3) = |f(3)| - b = -8 \Rightarrow |f(3)| = b - 8$$ - لأن $$b > 0$$ و $$g(3) = -8$$، إذًا $$b > 8$$. - نحسب $$f(3) = \frac{2a - 9}{3}$$. - إذًا: $$|\frac{2a - 9}{3}| = b - 8$$ - هذه علاقة بين $$a$$ و $$b$$. **(9) نوع النقطة القصوى للدالة $$s(x) = \int_1^x g(t) dt$$:** - $$s'(x) = g(x)$$. - عند النقطة القصوى $$x=3$$، $$g'(3) = 0$$. - إذا كانت $$g(x)$$ لها نقطة صغرى عند $$x=3$$، فإن $$s(x)$$ لها نقطة تقعر. - نوع النقطة القصوى لـ $$s(x)$$ يعتمد على إشارة $$g(x)$$ و $$g'(x)$$ حول $$x=3$$. **الملخص:** - استخدمنا تعريف الدالة وقمنا بحساب مشتقاتها. - استنتجنا خصائص الدالة $$f(x)$$. - عبرنا عن العلاقة بين $$a$$ و $$b$$ باستخدام النقطة القصوى المعطاة. - درسنا نوع النقطة القصوى للدالة $$s(x)$$ باستخدام المشتقات.