1. **بيان المسألة:** لدينا دالتان: $$f(x) = -2x^3$$ $$g(x) = \sqrt{x - 2}$$ ونريد دراسة خصائصهما، حساب المشتقات، إيجاد نقاط التقاطع، تركيب الدالتين، ومشتقة التركيب. 2. **حساب المشتقات:** - مشتقة $f(x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2$$ - مشتقة $g(x)$: $$g(x) = (x-2)^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$$ 3. **مجالات التعريف:** - $f$ معرفة على $\mathbb{R}$. - $g$ معرفة حيث $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$. 4. **نقاط تقاطع $f$ و $g$:** نحل المعادلة: $$f(x) = g(x) \Rightarrow -2x^3 = \sqrt{x-2}$$ نربّع الطرفين: $$4x^6 = x - 2$$ نرتب: $$4x^6 - x + 2 = 0$$ هذه معادلة من الدرجة 6، يمكن البحث عن حلول عددية أو تقريبية. لكن نلاحظ أن $x \geq 2$ بسبب مجال $g$. 5. **تركيب الدالتين $h = f \circ g$:** $$h(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = -2(\sqrt{x-2})^3 = -2(x-2)^{3/2}$$ 6. **مشتقة التركيب $h'(x)$:** باستخدام قاعدة السلسلة: $$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ حيث: $$f'(g(x)) = -6(g(x))^2 = -6(\sqrt{x-2})^2 = -6(x-2)$$ و $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$$ إذاً: $$h'(x) = -6(x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = -3 \sqrt{x-2}$$ 7. **ملخص:** - $f'(x) = -6x^2$ - $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ - نقاط تقاطع $f$ و $g$ هي حلول المعادلة $4x^6 - x + 2 = 0$ مع $x \geq 2$ - تركيب الدالتين $h(x) = -2(x-2)^{3/2}$ - مشتقة التركيب $h'(x) = -3 \sqrt{x-2}$