1. مسئلہ بیان کریں: ہمیں دی گئی پہلی اور دوسری مشتق کے سائن چارٹ کی مدد سے فنکشن $f$ کے بڑھنے، گھٹنے، محدب اور مقعر ہونے کے وقفے اور انفلکشن پوائنٹس تلاش کرنے ہیں۔ 2. اصول اور فارمولہ: - اگر $f'(x) > 0$ تو $f$ بڑھ رہا ہے۔ - اگر $f'(x) < 0$ تو $f$ گھٹ رہا ہے۔ - اگر $f''(x) > 0$ تو $f$ محدب (concave up) ہے۔ - اگر $f''(x) < 0$ تو $f$ مقعر (concave down) ہے۔ - انفلکشن پوائنٹ وہ جگہ ہے جہاں $f''(x)$ کا سائن بدلتا ہے۔ 3. سوال 9 کے لیے: (a) بڑھنے کے وقفے: جہاں $f'(x) > 0$ ہے یعنی $x < 1$ اور $2 < x < 3$ (b) گھٹنے کے وقفے: جہاں $f'(x) < 0$ ہے یعنی $1 < x < 2$ اور $3 < x < 4$ (c) محدب ہونے کے وقفے: جہاں $f''(x) > 0$ ہے یعنی $x < 1$ اور $1 < x < 2$ اور $x > 4$ (d) مقعر ہونے کے وقفے: جہاں $f''(x) < 0$ ہے یعنی $2 < x < 4$ (e) انفلکشن پوائنٹس: جہاں $f''(x)$ کا سائن بدلتا ہے یعنی $x=1$, $x=2$, اور $x=4$ 4. سوال 10 کے لیے: (a) بڑھنے کے وقفے: $x > 0$ (تمام $x$ کیونکہ $f'(x) > 0$ ہر جگہ) (b) گھٹنے کے وقفے: کوئی نہیں (c) محدب ہونے کے وقفے: $x < 1$ اور $x > 3$ (d) مقعر ہونے کے وقفے: $1 < x < 3$ (e) انفلکشن پوائنٹس: $x=1$ اور $x=3$ 5. سوال 11-14 کے جوابات: 11. درست ہے کیونکہ decreasing کا مطلب ہے فنکشن کی قیمت کم ہو رہی ہے۔ 12. غلط ہے کیونکہ $f'(1) > 0$ صرف ایک نقطہ پر ہے، پورے وقفے پر نہیں۔ 13. غلط ہے کیونکہ increasing ہونے کے لیے پورے وقفے میں $f'(x) > 0$ ہونا چاہیے، صرف $f'(1) > 0$ کافی نہیں۔ 14. غلط ہے کیونکہ $f'$ اور $f''$ کی تبدیلی سے انفلکشن پوائنٹ کا تعین نہیں ہوتا جب تک فنکشن کی continuity اور differentiability کی مکمل جانچ نہ ہو۔ 6. سوال 15 کے لیے: $f(x) = x^2 - 3x + 8$ - $f'(x) = 2x - 3$ - $f''(x) = 2$ (a) بڑھنے کے لیے $f'(x) > 0 ightarrow 2x - 3 > 0 ightarrow x > rac{3}{2}$ (b) گھٹنے کے لیے $x < rac{3}{2}$ (c) چونکہ $f''(x) = 2 > 0$ ہر جگہ، فنکشن محدب ہے۔ (d) کوئی مقعر وقفہ نہیں (e) کوئی انفلکشن پوائنٹ نہیں کیونکہ $f''(x)$ کا سائن نہیں بدلتا 7. سوال 16 کے لیے: $f(x) = 5 - 4x - x^2$ - $f'(x) = -4 - 2x$ - $f''(x) = -2$ (a) بڑھنے کے لیے $f'(x) > 0 ightarrow -4 - 2x > 0 ightarrow x < -2$ (b) گھٹنے کے لیے $x > -2$ (c) چونکہ $f''(x) = -2 < 0$ ہر جگہ، فنکشن مقعر ہے۔ (d) کوئی محدب وقفہ نہیں (e) کوئی انفلکشن پوائنٹ نہیں 8. سوال 17 کے لیے: $f(x) = (2x + 1)^3$ - $f'(x) = 3(2x + 1)^2 imes 2 = 6(2x + 1)^2$ - $f''(x) = 12(2x + 1)$ (a) $f'(x) > 0$ ہر جگہ کیونکہ مربع ہمیشہ مثبت ہے (b) کوئی گھٹنے کا وقفہ نہیں (c) $f''(x) > 0$ جب $2x + 1 > 0 ightarrow x > -rac{1}{2}$ (d) $f''(x) < 0$ جب $x < -rac{1}{2}$ (e) انفلکشن پوائنٹ $x = -rac{1}{2}$ 9. باقی سوالات کے حل اسی طرح کیے جا سکتے ہیں۔