1. مسئله: مقدار مشتق تابع $$f(x) = \frac{(x+2)^3 (x^2+1)^4}{(x^3+1)^2}$$ را در نقطه $$x=1$$ بیابید. 2. برای مشتق‌گیری از تابعی که به صورت کسر است، از قاعده مشتق کسر استفاده می‌کنیم: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ که در آن $$u = (x+2)^3 (x^2+1)^4$$ و $$v = (x^3+1)^2$$. 3. ابتدا مشتق $$u$$ را با استفاده از قاعده ضرب مشتق می‌گیریم: $$u = f(x)g(x)$$ با $$f(x) = (x+2)^3$$ و $$g(x) = (x^2+1)^4$$. مشتق $$f(x)$$: $$f'(x) = 3(x+2)^2$$ مشتق $$g(x)$$ با استفاده از قاعده زنجیره: $$g'(x) = 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3$$ پس: $$u' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3(x+2)^2 (x^2+1)^4 + (x+2)^3 \cdot 8x (x^2+1)^3$$ 4. مشتق $$v$$: $$v = (x^3+1)^2$$ با قاعده زنجیره: $$v' = 2(x^3+1) \cdot 3x^2 = 6x^2 (x^3+1)$$ 5. حال مشتق $$f(x)$$ را طبق قاعده مشتق کسر می‌نویسیم: $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left[3(x+2)^2 (x^2+1)^4 + 8x (x+2)^3 (x^2+1)^3\right] (x^3+1)^2 - (x+2)^3 (x^2+1)^4 \cdot 6x^2 (x^3+1)}{(x^3+1)^4}$$ 6. مقدار $$f'(1)$$ را محاسبه می‌کنیم: ابتدا مقادیر پایه را جایگذاری می‌کنیم: $$(1+2) = 3$$ $$(1^2+1) = 2$$ $$(1^3+1) = 2$$ محاسبه هر بخش: $$3(x+2)^2 (x^2+1)^4 = 3 \times 3^2 \times 2^4 = 3 \times 9 \times 16 = 432$$ $$8x (x+2)^3 (x^2+1)^3 = 8 \times 1 \times 3^3 \times 2^3 = 8 \times 27 \times 8 = 1728$$ $$u' = 432 + 1728 = 2160$$ $$v = (x^3+1)^2 = 2^2 = 4$$ $$u = (x+2)^3 (x^2+1)^4 = 3^3 \times 2^4 = 27 \times 16 = 432$$ $$v' = 6x^2 (x^3+1) = 6 \times 1^2 \times 2 = 12$$ 7. جایگذاری در فرمول مشتق: $$f'(1) = \frac{2160 \times 4 - 432 \times 12}{4^2} = \frac{8640 - 5184}{16} = \frac{3456}{16} = 216$$ نتیجه: مقدار مشتق تابع در نقطه $$x=1$$ برابر است با $$216$$.