1. Το πρόβλημα ζητά να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του $\cos^4 x$ ως προς $x$. 2. Χρησιμοποιούμε τον τύπο μείωσης δυνάμεων για το συνημίτονο: $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ 3. Επομένως, $$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$$ 4. Επεκτείνουμε το τετράγωνο: $$(1 + \cos 2x)^2 = 1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x$$ 5. Άρα, $$\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$ 6. Αντικαθιστούμε το $\cos^2 2x$ με τον τύπο μείωσης δυνάμεων: $$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$$ 7. Άρα, $$\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 + 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{8} = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$ 8. Το ολοκλήρωμα γίνεται: $$\int \cos^4 x \, dx = \int \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 + 4\cos 2x + \cos 4x) \, dx$$ 9. Ολοκληρώνουμε όρο προς όρο: - $$\int 3 \, dx = 3x$$ - $$\int 4\cos 2x \, dx = 4 \cdot \frac{\sin 2x}{2} = 2 \sin 2x$$ - $$\int \cos 4x \, dx = \frac{\sin 4x}{4}$$ 10. Συνεπώς, $$\int \cos^4 x \, dx = \frac{1}{8} (3x + 2 \sin 2x + \frac{\sin 4x}{4}) + C = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$ Τελική απάντηση: $$\int \cos^4 x \, dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$