1. ปัญหาคือการวิเคราะห์บริเวณ R ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งในพิกัดโพลา รที่กำหนดโดยสมการ $r = 5 - 5\cos\theta$. 2. สมการนี้เป็นสมการของรูปหัวใจ (cardioid) ในพิกัดโพลา โดย $r$ คือระยะจากจุดกำเนิดและ $\theta$ คือมุมที่วัดจากแกนเอกซ์. 3. เพื่อวิเคราะห์บริเวณ R เราสามารถใช้สูตรหาพื้นที่ในพิกัดโพลา: $$\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta$$ โดยที่ $\alpha$ และ $\beta$ คือขอบเขตของมุม $\theta$ ที่ปิดล้อมบริเวณนั้น. 4. ในกรณีนี้ $\theta$ วิ่งตั้งแต่ $0$ ถึง $2\pi$ เพื่อครอบคลุมเส้นโค้งทั้งหมด. 5. แทนค่า $r$ ลงในสูตร: $$\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (5 - 5\cos\theta)^2 \, d\theta$$ 6. ขยายกำลังสอง: $$(5 - 5\cos\theta)^2 = 25 - 50\cos\theta + 25\cos^2\theta$$ 7. ดังนั้น $$\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (25 - 50\cos\theta + 25\cos^2\theta) \, d\theta$$ 8. แยกอินทิกรัล: $$= \frac{1}{2} \left[ \int_0^{2\pi} 25 \, d\theta - \int_0^{2\pi} 50\cos\theta \, d\theta + \int_0^{2\pi} 25\cos^2\theta \, d\theta \right]$$ 9. คำนวณแต่ละอินทิกรัล: - $\int_0^{2\pi} 25 \, d\theta = 25 \times 2\pi = 50\pi$ - $\int_0^{2\pi} 50\cos\theta \, d\theta = 0$ เพราะ $\cos\theta$ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ในช่วงนี้ - $\int_0^{2\pi} 25\cos^2\theta \, d\theta = 25 \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta$ 10. ใช้สูตร $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \times 2\pi + 0 = \pi$$ 11. ดังนั้น $$\int_0^{2\pi} 25\cos^2\theta \, d\theta = 25 \times \pi = 25\pi$$ 12. รวมผลลัพธ์ทั้งหมด: $$\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} (50\pi - 0 + 25\pi) = \frac{1}{2} \times 75\pi = \frac{75\pi}{2}$$ 13. สรุป พื้นที่ของบริเวณ R ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $r = 5 - 5\cos\theta$ คือ $$\boxed{\frac{75\pi}{2}}$$