1. **Δίνεται το πρόβλημα:** Να εξετάσουμε αν η συνάρτηση $$f(x) = 4e^{x-1} + 4xe^{x-1} - 6x - 1$$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα $$[0,1]$$. 2. **Θεώρημα Bolzano:** Αν μια συνάρτηση $$f$$ είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα $$[a,b]$$ και τα πρόσημα των $$f(a)$$ και $$f(b)$$ είναι αντίθετα, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $$cksi e c(a,b)$$ τέτοιο ώστε $$f(cksi) = 0$$. 3. **Έλεγχος συνέχειας:** Η $$f(x)$$ είναι σύνθεση και άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (εκθετική, πολυωνυμική), άρα συνεχής σε $$[0,1]$$. 4. **Υπολογισμός τιμών στα άκρα:** - $$f(0) = 4e^{0-1} + 4 imes 0 imes e^{0-1} - 6 imes 0 - 1 = 4e^{-1} - 1 \\ \approx 4 imes 0.3679 - 1 = 1.4716 - 1 = 0.4716 > 0$$ - $$f(1) = 4e^{1-1} + 4 imes 1 imes e^{1-1} - 6 imes 1 - 1 = 4e^{0} + 4e^{0} - 6 - 1 = 4 + 4 - 7 = 1 > 0$$ 5. **Συμπέρασμα:** Επειδή $$f(0) > 0$$ και $$f(1) > 0$$, δεν αλλάζει πρόσημο στο $$[0,1]$$, άρα το θεώρημα Bolzano δεν εγγυάται ρίζα εκεί. --- 1. **Να αποδείξουμε ότι $$g(x) = 4xe^{x-1} - 3x^2 - x$$ είναι αρχική της $$f$$.** 2. Υπολογίζουμε την παράγωγο $$g'(x)$$: $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left(4xe^{x-1} - 3x^2 - x\right) = 4 \frac{d}{dx} (xe^{x-1}) - 6x - 1$$ 3. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα γινομένου: $$\frac{d}{dx} (xe^{x-1}) = e^{x-1} + x e^{x-1} = e^{x-1}(1 + x)$$ 4. Άρα: $$g'(x) = 4 e^{x-1}(1 + x) - 6x - 1 = 4 e^{x-1} + 4 x e^{x-1} - 6x - 1 = f(x)$$ 5. **Συμπέρασμα:** $$g'(x) = f(x)$$, άρα $$g$$ είναι αρχική της $$f$$. --- 1. **Να αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $$cksi e (0,1)$$ τέτοιο ώστε $$f(cksi) = 0$$.** 2. Από το βήμα 4 του πρώτου μέρους, $$f(0) > 0$$ και $$f(1) > 0$$, άρα δεν υπάρχει αλλαγή πρόσημου. 3. Ωστόσο, εξετάζουμε αν $$f$$ έχει ακρότατα ή σημεία όπου αλλάζει πρόσημο μέσα στο διάστημα. 4. Υπολογίζουμε $$f(0.5)$$: $$f(0.5) = 4 e^{0.5-1} + 4 imes 0.5 imes e^{0.5-1} - 6 imes 0.5 - 1 = 4 e^{-0.5} + 2 e^{-0.5} - 3 - 1 = 6 e^{-0.5} - 4$$ 5. Υπολογίζουμε αριθμητικά: $$e^{-0.5} \approx 0.6065$$ Άρα: $$f(0.5) \approx 6 \times 0.6065 - 4 = 3.639 - 4 = -0.361 < 0$$ 6. Τώρα έχουμε: - $$f(0) > 0$$ - $$f(0.5) < 0$$ Άρα, με το θεώρημα Bolzano στο διάστημα $$[0,0.5]$$, υπάρχει $$cksi e (0,0.5)$$ με $$f(cksi) = 0$$. **Τελικό συμπέρασμα:** Υπάρχει τουλάχιστον ένα $$cksi e (0,1)$$ με $$f(cksi) = 0$$.