1. **Plantear el problema:** Queremos encontrar el área de la región sombreada delimitada por las curvas: - Parabola: $y = x^2 - 2$ - Línea horizontal: $y = 1$ - Curva cúbica: $y = x^3$ 2. **Encontrar puntos de intersección:** Para determinar los límites de integración, hallamos las intersecciones entre las curvas. - Intersección entre $y = x^3$ y $y = x^2 - 2$: $$x^3 = x^2 - 2 \implies x^3 - x^2 + 2 = 0$$ Probamos valores para encontrar raíces reales: - Para $x = -1$: $(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 -1 + 2 = 0$ (raíz) Dividimos el polinomio por $(x+1)$: $$x^3 - x^2 + 2 = (x+1)(x^2 - 2x + 2)$$ El trinomio cuadrático no tiene raíces reales (discriminante $= (-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0$). Por lo tanto, la única raíz real es $x = -1$. - Intersección entre $y = 1$ y $y = x^2 - 2$: $$1 = x^2 - 2 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$$ 3. **Determinar las regiones y límites de integración:** - Para $x$ en $[-1, 0]$, la región está entre $y = x^3$ (curva inferior) y $y = x^2 - 2$ (curva superior). - Para $x$ en $[0, \sqrt{3}]$, la región está entre $y = 1$ (curva inferior) y $y = x^2 - 2$ (curva superior). 4. **Plantear las integrales definidas para el área:** El área total es la suma de las áreas de ambas regiones: $$A = \int_{-1}^0 \left[(x^2 - 2) - x^3\right] dx + \int_0^{\sqrt{3}} \left[(x^2 - 2) - 1\right] dx$$ 5. **Calcular las integrales:** - Primera integral: $$\int_{-1}^0 (x^2 - 2 - x^3) dx = \int_{-1}^0 (-x^3 + x^2 - 2) dx$$ Calculamos la antiderivada: $$F_1(x) = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2x$$ Evaluamos en los límites: $$F_1(0) - F_1(-1) = \left(0 + 0 - 0\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 2\right)$$ $$= 0 - \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 2\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - 2 = \frac{7}{12} - 2 = -\frac{17}{12}$$ Como el área es positiva, tomamos el valor absoluto: $$\left| -\frac{17}{12} \right| = \frac{17}{12}$$ - Segunda integral: $$\int_0^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx$$ Antiderivada: $$F_2(x) = \frac{x^3}{3} - 3x$$ Evaluamos: $$F_2(\sqrt{3}) - F_2(0) = \left(\frac{(\sqrt{3})^3}{3} - 3\sqrt{3}\right) - 0 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3}\right) = (\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$$ Tomamos valor absoluto para área: $$2\sqrt{3}$$ 6. **Área total:** $$A = \frac{17}{12} + 2\sqrt{3}$$ **Respuesta final:** El área total de la región sombreada es $$\boxed{\frac{17}{12} + 2\sqrt{3}}$$.