1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $f(x) = \frac{1}{\arcsin(x)}$ définie sur l'intervalle $(-1,1)$ sauf en $x=0$ où $\arcsin(x)=0$. 2. **Définition du domaine $D_f$ :** Le domaine de $f$ est l'ensemble des $x$ tels que $\arcsin(x) \neq 0$ et $x \in [-1,1]$. Comme $\arcsin(x)=0$ uniquement pour $x=0$, on a $$D_f = [-1,0) \cup (0,1].$$ 3. **Calcul de la limite $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ :** On sait que $\arcsin(x) \sim x$ quand $x \to 0$, donc $$f(x) = \frac{1}{\arcsin(x)} \sim \frac{1}{x}.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.$$ 4. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** Utilisons la règle de dérivation d'un quotient : $$f(x) = \frac{1}{\arcsin(x)} = (\arcsin(x))^{-1}.$$ Donc, $$f'(x) = - (\arcsin(x))^{-2} \cdot \frac{d}{dx} \arcsin(x).$$ Or, $$\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$ Donc, $$f'(x) = - \frac{1}{(\arcsin(x))^2 \sqrt{1 - x^2}}.$$ 5. **Calcul de la limite $\lim_{x \to 0^+} f'(x)$ :** Comme $\arcsin(x) \sim x$ et $\sqrt{1 - x^2} \to 1$ quand $x \to 0$, on a $$f'(x) \sim - \frac{1}{x^2 \cdot 1} = - \frac{1}{x^2}.$$ Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = -\infty.$$ 6. **Calcul de la limite $\lim_{x \to 1^-} f'(x)$ :** Quand $x \to 1^-$, $\arcsin(x) \to \frac{\pi}{2}$ et $\sqrt{1 - x^2} \to 0^+$. Donc, $$f'(x) = - \frac{1}{(\arcsin(x))^2 \sqrt{1 - x^2}} \to - \frac{1}{(\frac{\pi}{2})^2 \cdot 0^+} = -\infty.$$ 7. **Propriété hyperbolique donnée :** $$\sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \sinh(y) \cosh(x)$$ 8. **Expression de $\cosh(x)$ en fonction de $\sinh$ :** $$\cosh(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sinh(2x)}{\sinh(x)}.$$ 9. **Produit $P_n(x)$ :** $$P_n(x) = \prod_{k=1}^n \cosh\left(\frac{x}{2^k}\right), \quad n \geq 1, x > 0.$$