1. نبدأ بمسألة تقريب القيمة $v^5 \approx 5000003$ باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة. 2. مبرهنة القيمة المتوسطة تقول إنه إذا كانت الدالة $f$ مشتقة على فترة مغلقة، فهناك نقطة $c$ في هذه الفترة حيث يكون التغير في الدالة مساويًا لمشتقتها مضروبة في التغير في المتغير. 3. نعتبر الدالة $f(v) = v^5$ ونريد تقريب $v$ بحيث يكون $v^5$ قريبًا من $5000003$. 4. نختار قيمة تقريبية $v_0$ قريبة من الجذر الخامس للعدد $5000003$، وهو تقريبًا $v_0 = 13.9999$ لأن $14^5 = 537824$ (تصحيح: $14^5 = 537824$ غير صحيح، يجب حساب $14^5$ بدقة). 5. نحسب $14^5 = 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 = 537824$ (هذا خطأ، يجب إعادة الحساب: $14^5 = 14^2 \times 14^3 = 196 \times 2744 = 537824$، لكن هذا الرقم صغير جدًا مقارنة بـ 5000003، إذن $v$ أكبر من 14). 6. نعيد الحساب: نحتاج إلى الجذر الخامس لـ 5000003، نستخدم التقريب العددي: $\sqrt[5]{5000003} \approx 14.87$ لأن $14.87^5 \approx 5000003$. 7. نستخدم مبرهنة القيمة المتوسطة لتقريب الفرق: $$f(v) - f(v_0) = f'(c)(v - v_0)$$ حيث $f'(v) = 5v^4$ و $c$ بين $v$ و $v_0$. 8. نختار $v_0 = 15$ لأن $15^5 = 759375$ (خطأ، يجب حساب $15^5$ بدقة: $15^5 = 15 \times 15 \times 15 \times 15 \times 15 = 759375$، هذا أقل من 5000003، إذن $v$ أكبر من 15). 9. نختار $v_0 = 17$ حيث $17^5 = 1419857$ (أقل من 5000003، نحتاج قيمة أكبر). 10. نختار $v_0 = 20$ حيث $20^5 = 3200000$ (أقل من 5000003، نحتاج قيمة أكبر). 11. نختار $v_0 = 22$ حيث $22^5 = 5153632$ (أكبر من 5000003). 12. إذن $v$ بين 21 و 22. 13. نستخدم مبرهنة القيمة المتوسطة بين $v_0=21$ و $v=22$: $$f(22) - f(21) = f'(c)(22 - 21)$$ $$5153632 - 4084101 = 5c^4 \times 1$$ $$1069531 = 5c^4$$ $$c^4 = \frac{1069531}{5} = 213906.2$$ 14. نأخذ الجذر الرابع: $$c = \sqrt[4]{213906.2} \approx 21.5$$ 15. نستخدم هذا لتقريب $v$ حيث $v^5 = 5000003$: $$f(v) - f(21) = f'(c)(v - 21)$$ $$5000003 - 4084101 = 5 \times (21.5)^4 (v - 21)$$ $$916902 = 5 \times 213906.2 (v - 21)$$ $$916902 = 1069531 (v - 21)$$ $$v - 21 = \frac{916902}{1069531} \approx 0.857$$ $$v \approx 21.857$$ 16. إذن القيمة التقريبية لـ $v$ هي $21.857$ بحيث يكون $v^5 \approx 5000003$. النتيجة النهائية: $v \approx 21.857$