مشتقات و حدود لوبتال
1. **المطلوب:** حساب مشتقات الدوال التالية:
2. **المطلوب:** حساب حدود الدوال باستخدام قاعدة لوبتال.
### السؤال 2: حساب المشتقات
1. الدالة $f(x) = \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = (x \cdot x^{1/2})^{1/5} = x^{3/2 \times 1/5} = x^{3/10}$.
المشتقة:
$$f'(x) = \frac{3}{10} x^{\frac{3}{10} - 1} = \frac{3}{10} x^{-\frac{7}{10}} = \frac{3}{10} \frac{1}{x^{7/10}}.$$
2. الدالة $f(x) = \ln(\ln x)$.
باستخدام قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}.$$
3. الدالة $f(x) = \sin(\cos x)$.
باستخدام قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x).$$
4. الدالة $f(x) = x e^{\sin x}$.
باستخدام قاعدة الضرب:
$$f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x} (1 + x \cos x).$$
5. الدالة $f(x) = \left(\frac{1}{1 - x}\right)^x = e^{x \ln \frac{1}{1 - x}} = e^{-x \ln(1 - x)}$.
المشتقة:
$$f'(x) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}(-x \ln(1 - x)) = f(x) \cdot (-\ln(1 - x) - x \cdot \frac{-1}{1 - x}) = f(x) (-\ln(1 - x) + \frac{x}{1 - x}).$$
6. الدالة $f(x) = e^{\sin^2(1/x)}$.
باستخدام قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = e^{\sin^2(1/x)} \cdot 2 \sin(1/x) \cos(1/x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2 \sin(1/x) \cos(1/x)}{x^2} e^{\sin^2(1/x)}.$$
---
### السؤال 3: حساب الحدود باستخدام قاعدة لوبتال
1. $$\lim_{x \to 2} \frac{e^x - e^2}{x^2 + x - 6} = \lim_{x \to 2} \frac{e^x}{2x + 1} = \frac{e^2}{5}.$$
2. $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}.$$
نطبق لوبتال:
$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin x + x \cos x} = \frac{0}{0 + 0} \to \text{نطبق لوبتال مرة أخرى}.$$
المشتقة الثانية:
$$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \frac{1}{2}.$$
3. $$\lim_{x \to 5} (6 - x)^{\frac{1}{x - 5}} = \lim_{x \to 5} e^{\frac{\ln(6 - x)}{x - 5}}.$$
ندرس الأس:
$$\lim_{x \to 5} \frac{\ln(6 - x)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{-\frac{1}{6 - x}}{1} = -\frac{1}{1} = -1.$$
إذن الحد يساوي:
$$e^{-1} = \frac{1}{e}.$$
4. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 10^x}{1 + 10^{x+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 10^x}{1 + 10 \cdot 10^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/10^x - 1}{1/10^x + 10} = \frac{0 - 1}{0 + 10} = -\frac{1}{10}.$$
5. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 15x - \sin 10x}{\sin 10x} = \lim_{x \to 0} \frac{15x - 10x}{10x} = \frac{5x}{10x} = \frac{1}{2}.$$
---
**النتائج النهائية:**
- مشتقات السؤال 2 كما في الخطوات أعلاه.
- حدود السؤال 3 هي:
1) $\frac{e^2}{5}$
2) $\frac{1}{2}$
3) $\frac{1}{e}$
4) $-\frac{1}{10}$
5) $\frac{1}{2}$