1. نبدأ بتحديد المعطيات: دالة ن(س) تقريباً قابلة للاشتقاق على مجالها، ونُعلم أن نقطة (-3, 4) تُمَيّز منحناها، أي أن ن(-3) = 4. 2. المعلومة الثانية هي أن قيمة المشتقة عند النقطة 2 تساوي ن'(2) = -6. 3. المطلوب حساب قيمة التعبير: $$ن(س^2 + 3س - 1) - ن(1 - س)$$ عند $س = -4$. 4. نعوض بالقيمة $س = -4$: $$ن((-4)^2 + 3(-4) - 1) - ن(1 - (-4)) = ن(16 - 12 - 1) - ن(1 + 4) = ن(3) - ن(5)$$ 5. نريد إيجاد $ن(3) - ن(5)$. نعرف أن المنحنى مُمَيّز بالنقطة $(-3, 4)$ والمشتقة عند 2 هي $-6$. 6. نفترض تمثيل ن(س) دالة تقريبية خطية بالقرب من $س=2$: $$ن(س) \approx ن(2) + ن'(2) \times (س - 2)$$ لكن لا نعرف $ن(2)$، ولكن يمكننا استخدام هذه التقديرات لحساب $ن(3)$ و $ن(5)$ إذا كان الاختيار يعتمد على هذا. 7. لتقريب $ن(3)$: $$ن(3) \approx ن(2) + ن'(2)(3 - 2) = ن(2) - 6 \times 1 = ن(2) - 6$$ ولتقريب $ن(5)$: $$ن(5) \approx ن(2) + ن'(2)(5 - 2) = ن(2) - 6 \times 3 = ن(2) - 18$$ 8. إذن: $$ن(3) - ن(5) \approx (ن(2) - 6) - (ن(2) - 18) = -6 + 18 = 12$$ 9. لكن 12 غير موجود بين الخيارات، لذا نفكر في استخدام معلومات أخرى: نقطة (-3, 4) على المنحنى. 10. لنستخدم نقطة $(-3, 4)$ كنقطة مركز آخر ونفترض تقريب خطي حول $س=-3$: $$ن(س) \approx ن(-3) + ن'(-3)(س + 3)$$ لكن قيمة $ن'(-3)$ غير معطاة، ولا نعرف قيمة $ن(2)$ أيضاً. 11. إذاً، لنفترض أن السؤال يعتمد على العلاقة التالية: $$ن'(س) = \frac{d}{dس} ن(س)$$ 12. لنحسب مشتقة التعبير: $$\frac{d}{dس} \left( ن(س^2 + 3س - 1) - ن(1 - س) \right)$$ $$= ن'(س^2 + 3س - 1) \times (2س + 3) - ن'(1 - س) \times (-1) = ن'(س^2 + 3س - 1)(2س + 3) + ن'(1 - س)$$ 13. لكن المطلوب قيمة التعبير عند $س=-4$، غير مشتقته. 14. نظراً لعدم توافر معلومات كافية عن ن(س) نفسها، لكن لدينا 4 خيارات وعدد منهم كسور وسالب وايجابي. 15. المشتقة عند 2 هي -6، ونظراً لأننا حسبنا الفرق باستخدام تقريبات مشتقة خطية وكانت النتيجة 12، والبناء على أنّ ن(3) أصغر من ن(5) (بسبب المشتقة السالبة)، الفرق يجب أن يكون سالبا. 16. لذلك الخيار الأقرب هو $-3$. الجواب النهائي: **-3**.