المطلوب: دراسة الدالة $f(x)=\frac{2x-3}{x^2+|x|-3}$ وإعطاء تمثيل بياني. 1. المجال. نحل المقام $x^2+|x|-3=0$ بتفريع الحالة حسب إشارة x. لـ $x\ge 0$ المقام يصبح $x^2+x-3$. حل المعادلة $$x^2+x-3=0$$ يعطي $$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$$. من هذين الجذرين نأخذ الجذر الموجب $$x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\approx 1.302775638$$ لأن الحالة كانت $x\ge 0$. لـ $x<0$ المقام يصبح $x^2-x-3$. حل المعادلة $$x^2-x-3=0$$ يعطي $$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$$. من هذين نأخذ الجذر السالب $$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1.302775638$$ لأن الحالة كانت $x<0$. إذًا المجال هو $\mathbb{R}\setminus\{\pm\frac{\sqrt{13}-1}{2}\}$. 2. نقاط الانقطاع والتماثل. المقام يساوي صفر عند $x=\pm\frac{\sqrt{13}-1}{2}$ بينما البسط لا يساوي صفر هناك لأن $2x-3\neq 0$ عند هذين النقطتين. إذا توجد أسلات رأسية عند $x=\pm\frac{\sqrt{13}-1}{2}$. لا توجد خصائص تماثل زوجية أو فردية بسيطة بسبب وجود $|x|$ في المقام. 3. جذور واعتراضات. جذر البسط من المعادلة $2x-3=0$ هو $x=\frac{3}{2}$. قيمة الدالة عند الصفر هي $f(0)=\frac{-3}{-3}=1$. 4. نهاية عند المالانهاية والأسلة الأفقية. عند $x\to\pm\infty$ نحصل على السلوك $f(x)\sim\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\to 0$. إذًا الخط $y=0$ هو أسلة أفقية. 5. المشتقة والدراسة المحلية. لاشتقاق الدالة نعمل قطعة- Pieces بسبب $|x|$. لـ $x>0$ المشتقة هي $$f'(x)=\frac{2(x^2+x-3)-(2x-3)(2x+1)}{(x^2+x-3)^2}$$. تبسيط البسط يعطي $$N_+(x)=-2x^2+6x-3$$. جذور $N_+(x)$ من حل $2x^2-6x+3=0$ وبالتالي $$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$$. القيم العددية تقريبًا هي $x\approx 0.633975$ و $x\approx 2.366025$. لـ $x<0$ المشتقة هي $$f'(x)=\frac{2(x^2-x-3)-(2x-3)(2x-1)}{(x^2-x-3)^2}$$. تبسيط البسط يعطي $$N_-(x)=-2x^2+6x-9$$. المعادلة $2x^2-6x+9=0$ ليس لها حلول حقيقية لأن المميز سالب، لذا على الجزء $x<0$ تكون المشتقة سالبة دائمًا. بالتالي الدالة تناقصية على $(-\infty,0)$. أما على $x>0$ فالمشتقة سالبة لمدى $0