1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا دالتان $u = x^2 + y^2$ و $v = 2xy$، ونريد إيجاد جهد السرعة $\phi$ الذي يكون ثابتًا مع أحد الخيارات المعطاة. 2. جهد السرعة $\phi$ في الحقل المتجه يُعطى عادةً بدالة تحقق شرط التوافق مع $u$ و $v$، حيث $u$ و $v$ تمثلان مكونات الحقل المتجه. 3. نلاحظ أن $u = x^2 + y^2$ و $v = 2xy$، ونريد التحقق من الخيارات المعطاة: a) $x\left(\frac{x^2}{3} + y^2\right)$ b) $x\left(\frac{x^2}{3} + y^3\right)$ c) $x\left(\frac{x^2}{6} + \frac{y^3}{2}\right)$ d) $x + y$ 4. نستخدم قاعدة أن جهد السرعة $\phi$ يجب أن تحقق: $$\frac{\partial \phi}{\partial x} = u = x^2 + y^2$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial y} = v = 2xy$$ 5. نختبر الخيار (a): $$\phi = x\left(\frac{x^2}{3} + y^2\right) = \frac{x^3}{3} + x y^2$$ نحسب المشتقات: $$\frac{\partial \phi}{\partial x} = x^2 + y^2$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2xy$$ وهما يطابقان $u$ و $v$. 6. نختبر الخيارات الأخرى: - (b) المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$ لا تطابق $v$. - (c) المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$ لا تطابق $u$. - (d) المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$ و $y$ لا تطابق $u$ و $v$. 7. إذن، الخيار الصحيح هو (a): $$\phi = x\left(\frac{x^2}{3} + y^2\right)$$ النتيجة النهائية: جهد السرعة $\phi$ هو $x\left(\frac{x^2}{3} + y^2\right)$ ثابت.