1. **تمرين 02: حساب التكاملات** 1. \(\int x\sqrt{x} \, dx = \int x x^{\frac{1}{2}} \, dx = \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C\). 2. \(\int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx\). نستخدم التعويض \(u = \cos x\), \(du = -\sin x dx\): \(= -\int (1 - u^2) \, du = -\left(u - \frac{u^3}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C\). 3. \(\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C\). 4. \(\int \frac{(\tan x)^{99}}{\cos^2 x} \, dx = \int (\tan x)^{99} \sec^2 x \, dx\). نستخدم \(t = \tan x\), \(dt = \sec^2 x dx\): \(= \int t^{99} \, dt = \frac{t^{100}}{100} + C = \frac{(\tan x)^{100}}{100} + C\). 5. \(\int \frac{x+2}{x^2} \, dx = \int \left(\frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2}\right) dx = \int \left(\frac{1}{x} + 2x^{-2}\right) dx = \ln|x| - 2x^{-1} + C\). 6. \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\). نستخدم التعويض \(u = 1 - x^2\), \(du = -2x dx\): \(= -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C = -\sqrt{1-x^2} + C\). 7. \(\int x^2 \sin x \, dx\). نستخدم التكامل بالتجزئة مرتين: \(u = x^2, dv = \sin x dx \Rightarrow du = 2x dx, v = -\cos x\) \(= -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx\). نكرر التكامل بالتجزئة على \(\int x \cos x dx\): \(u = x, dv = \cos x dx \Rightarrow du = dx, v = \sin x\) \(= x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C\). إذاً: \(\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C\). 8. \(\int 7x (x^2 - 1)^8 dx\). نستخدم التعويض \(t = x^2 - 1\), \(dt = 2x dx\): \(= 7 \int x (t)^8 dx = 7 \int t^8 \frac{dt}{2} = \frac{7}{2} \int t^8 dt = \frac{7}{2} \frac{t^9}{9} + C = \frac{7}{18} (x^2 - 1)^9 + C\). 9. \(\int \frac{dx}{x^2 + 2x - 3} = \int \frac{dx}{(x+3)(x-1)}\). نستخدم التحليل إلى كسور جزئية: \(\frac{1}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}\). بحل المعادلة نجد \(A = \frac{1}{4}, B = -\frac{1}{4}\). إذاً: \(= \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x+3} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x-1} = \frac{1}{4} \ln|x+3| - \frac{1}{4} \ln|x-1| + C\). 10. \(\int \frac{dx}{(x-1)^2} = -\frac{1}{x-1} + C\). 11. \(\int \frac{x^2 - x - 5}{x^2 - x - 6} dx = \int \frac{x^2 - x - 5}{(x-3)(x+2)} dx\). نستخدم القسمة الطويلة: \(\frac{x^2 - x - 5}{x^2 - x - 6} = 1 + \frac{1}{x^2 - x - 6}\). نحل التكامل: \(= \int 1 dx + \int \frac{1}{(x-3)(x+2)} dx = x + \int \left(\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}\right) dx\). بحل الكسور الجزئية \(A = -\frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}\): \(= x - \frac{1}{5} \ln|x-3| + \frac{1}{5} \ln|x+2| + C\). 12. \(\int \frac{dx}{1 + e^x}\). نستخدم التعويض \(t = e^x\), \(dt = e^x dx = t dx\), \(dx = \frac{dt}{t}\): \(= \int \frac{1}{1+t} \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t(1+t)} dt\). نحل الكسور الجزئية: \(\frac{1}{t(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t}\), بحل نجد \(A=1, B=-1\). \(= \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}\right) dt = \ln|t| - \ln|1+t| + C = x - \ln(1 + e^x) + C\). 13. \(\int \frac{x}{(x^2 - 10x + 25)} dx = \int \frac{x}{(x-5)^2} dx\). نستخدم التعويض \(t = x-5\), \(x = t+5\): \(= \int \frac{t+5}{t^2} dt = \int \left(\frac{t}{t^2} + \frac{5}{t^2}\right) dt = \int \left(\frac{1}{t} + 5 t^{-2}\right) dt = \ln|t| - \frac{5}{t} + C = \ln|x-5| - \frac{5}{x-5} + C\). 14. \(\int x \sin x \cos x \, dx\). نستخدم الهوية \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\): \(= \frac{1}{2} \int x \sin 2x \, dx\). نستخدم التكامل بالتجزئة: \(u = x, dv = \sin 2x dx \Rightarrow du = dx, v = -\frac{1}{2} \cos 2x\) \(= -\frac{x}{4} \cos 2x + \frac{1}{4} \int \cos 2x dx = -\frac{x}{4} \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C\). 2. **تمرين 03: التكاملات مع تغيير المتغير** 1. \(\int x^3 (1 - 5x^2)^{10} dx\), التعويض \(t = 1 - 5x^2\), \(dt = -10x dx\) أو \(x dx = -\frac{dt}{10}\). نكتب \(x^3 dx = x^2 (x dx)\). من \(t = 1 - 5x^2\) نحصل \(x^2 = \frac{1 - t}{5}\). إذا: \(\int x^3 (1 - 5x^2)^{10} dx = \int x^2 (1 - 5x^2)^{10} (x dx) = \int \frac{1 - t}{5} t^{10} \left(-\frac{dt}{10}\right) = -\frac{1}{50} \int (1 - t) t^{10} dt\). \(= -\frac{1}{50} \int (t^{10} - t^{11}) dt = -\frac{1}{50} \left( \frac{t^{11}}{11} - \frac{t^{12}}{12} \right) + C = -\frac{1}{50} \left( \frac{(1 - 5x^2)^{11}}{11} - \frac{(1 - 5x^2)^{12}}{12} \right) + C\). 2. \(\int \frac{x^2}{\sqrt{2 - x}} dx\), التعويض \(t = \sqrt{2 - x}\), \(x = 2 - t^2\), \(dx = -2t dt\). \(x^2 = (2 - t^2)^2 = 4 - 4t^2 + t^4\). التكامل يصبح: \(\int \frac{x^2}{t} dx = \int \frac{4 - 4t^2 + t^4}{t} (-2t dt) = -2 \int (4 - 4t^2 + t^4) dt = -2 \int (4 - 4t^2 + t^4) dt\). \(= -2 \left(4t - \frac{4t^3}{3} + \frac{t^5}{5}\right) + C = -8t + \frac{8t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} + C\). \(= -8 \sqrt{2 - x} + \frac{8}{3} (2 - x)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} (2 - x)^{\frac{5}{2}} + C\). 3. \(\int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^2}} dx\), التعويض \(y = \sqrt{1 - x^2}\), \(y^2 = 1 - x^2\), \(2y dy = -2x dx\) أو \(x dx = -y dy\). نكتب \(x^5 dx = x^4 (x dx) = x^4 (-y dy)\). \(x^2 = 1 - y^2 \Rightarrow x^4 = (1 - y^2)^2\). إذا: \(\int \frac{x^5}{y} dx = \int \frac{x^5 dx}{y} = \int \frac{x^4 (x dx)}{y} = \int \frac{(1 - y^2)^2 (-y dy)}{y} = -\int (1 - y^2)^2 dy\). \(= -\int (1 - 2y^2 + y^4) dy = -\left(y - \frac{2y^3}{3} + \frac{y^5}{5}\right) + C = -y + \frac{2y^3}{3} - \frac{y^5}{5} + C\). \(= -\sqrt{1 - x^2} + \frac{2}{3} (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{5} (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} + C\). 4. \(\int \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^x}} dx\), التعويض \(t = 1 + e^x\), \(dt = e^x dx\). \(= \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{1 + e^x} + C\). 5. \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}\), التعويض \(y = x + \sqrt{1 + x^2}\). نستخدم أن \(dy = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} dx\). لكن \(y = x + \sqrt{1 + x^2} \Rightarrow y - x = \sqrt{1 + x^2}\). نحل التكامل مباشرة: \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \sinh^{-1} x + C = \ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C\). 3. **تمرين 04:** 1. إثبات: \(\frac{t}{2t^2 + 3t - 2} = \frac{2}{5(t+2)} + \frac{1}{5(2t-1)}\). نبدأ بتحليل المقام: \(2t^2 + 3t - 2 = (t+2)(2t - 1)\). نكتب: \(\frac{t}{(t+2)(2t-1)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{2t-1}\). نضرب الطرفين في المقام: \(t = A(2t - 1) + B(t + 2) = (2A + B) t + (-A + 2B)\). نساوي المعاملات: \(2A + B = 1\), \(-A + 2B = 0\). من الثانية \(A = 2B\). نعوض في الأولى: \(2(2B) + B = 5B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{5}\). \(A = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\). إذاً: \(\frac{t}{2t^2 + 3t - 2} = \frac{2}{5(t+2)} + \frac{1}{5(2t-1)}\). 2. حساب التكامل: \(I = \int \frac{t}{2t^2 + 3t - 2} dt = \int \left( \frac{2}{5(t+2)} + \frac{1}{5(2t-1)} \right) dt\). \(= \frac{2}{5} \int \frac{dt}{t+2} + \frac{1}{5} \int \frac{dt}{2t-1}\). \(= \frac{2}{5} \ln|t+2| + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \ln|2t-1| + C = \frac{2}{5} \ln|t+2| + \frac{1}{10} \ln|2t-1| + C\). 3. إيجاد \(J = \int \frac{dx}{2x + \sqrt{3} x + 1}\) مع \(t = \sqrt{3x + 1}\). نكتب المقام: \(2x + \sqrt{3} x + 1 = x(2 + \sqrt{3}) + 1\). لكن التعويض \(t = \sqrt{3x + 1} \Rightarrow t^2 = 3x + 1 \Rightarrow x = \frac{t^2 - 1}{3}\). \(dx = \frac{2t}{3} dt\). المقام يصبح: \(2x + \sqrt{3} x + 1 = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{t^2 - 1}{3} + 1 = \frac{(2 + \sqrt{3})(t^2 - 1) + 3}{3}\). إذاً: \(J = \int \frac{dx}{2x + \sqrt{3} x + 1} = \int \frac{\frac{2t}{3} dt}{\frac{(2 + \sqrt{3})(t^2 - 1) + 3}{3}} = \int \frac{2t dt}{(2 + \sqrt{3})(t^2 - 1) + 3}\). \(= \int \frac{2t dt}{(2 + \sqrt{3}) t^2 - (2 + \sqrt{3}) + 3} = \int \frac{2t dt}{(2 + \sqrt{3}) t^2 + (3 - 2 - \sqrt{3})}\). \(= \int \frac{2t dt}{(2 + \sqrt{3}) t^2 + (1 - \sqrt{3})}\). نستخدم التعويض \(u = t^2\), \(du = 2t dt\): \(J = \int \frac{du}{(2 + \sqrt{3}) u + (1 - \sqrt{3})} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \int \frac{du}{u + \frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}\). \(= \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \ln \left| u + \frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \right| + C = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \ln \left| t^2 + \frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \right| + C\). \(= \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \ln \left| 3x + 1 + \frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \right| + C\).