1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $f$ معرفة كما يلي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1}{\ln(x+1)} & x > 0 \\ x^3 e^{2x} & x \leq 0 \end{cases}$$ نريد: - تحديد مجموعة تعريف الدالة $f$. - دراسة استمرارية الدالة عند $x=0$. - التحقق مما إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند $x=0$. - حساب مشتقة الدالة $f$. 2. **تحديد مجموعة التعريف:** - الجزء الأول $\frac{e^x - 1}{\ln(x+1)}$ معرف عندما يكون $x+1 > 0$ و $\ln(x+1) \neq 0$. - بما أن $\ln(x+1) = 0$ عند $x=0$، يجب التحقق من السلوك عند الصفر. - الجزء الثاني $x^3 e^{2x}$ معرف لكل $x \leq 0$. إذًا، مجموعة التعريف هي $(-1, +\infty)$ باستثناء النقطة التي يجب التحقق منها عند $x=0$. 3. **دراسة استمرارية الدالة عند $x=0$:** - نحسب النهاية من اليمين: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - 1}{\ln(x+1)}$$ باستخدام قاعدة لوبيتال لأن البسط والمقام يقتربان من 0: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - 1}{\ln(x+1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{\frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to 0^+} e^x (x+1) = e^0 \times 1 = 1$$ - نحسب قيمة الدالة عند الصفر: $$f(0) = 0^3 e^{0} = 0$$ - نحسب النهاية من اليسار: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^3 e^{2x} = 0$$ - بما أن $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq f(0) = 0$, الدالة غير مستمرة عند $x=0$. 4. **قابلية الاشتقاق عند $x=0$:** - لأن الدالة غير مستمرة عند $x=0$، فهي غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. 5. **حساب مشتقة الدالة $f$:** - للمجال $x > 0$: $$f(x) = \frac{e^x - 1}{\ln(x+1)}$$ نستخدم قاعدة القسمة: $$f'(x) = \frac{(e^x)(\ln(x+1)) - (e^x - 1) \frac{1}{x+1}}{(\ln(x+1))^2}$$ - للمجال $x \leq 0$: $$f(x) = x^3 e^{2x}$$ نستخدم قاعدة الضرب: $$f'(x) = 3x^2 e^{2x} + x^3 (2 e^{2x}) = e^{2x} (3x^2 + 2x^3)$$ **النتائج النهائية:** - مجموعة التعريف: $(-1, +\infty)$ مع استثناء نقطة الصفر التي يجب التعامل معها بحذر. - الدالة غير مستمرة وغير قابلة للاشتقاق عند $x=0$. - مشتقة الدالة: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{e^x \ln(x+1) - \frac{e^x - 1}{x+1}}{(\ln(x+1))^2} & x > 0 \\ e^{2x} (3x^2 + 2x^3) & x \leq 0 \end{cases}$$