1. مسئله: بررسی مشتق‌پذیری یک تابع در یک نقطه خاص. 2. تعریف مشتق‌پذیری: تابع $f$ در نقطه $x=a$ مشتق‌پذیر است اگر حد زیر وجود داشته باشد: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ این حد همان مشتق تابع در نقطه $a$ است و اگر وجود داشته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. 3. مراحل بررسی مشتق‌پذیری: - ابتدا تابع را در نقطه $a$ و اطراف آن بررسی کنید. - حد تعریف مشتق را محاسبه کنید. - اگر حد وجود داشته باشد و مقدار نهایی عددی حقیقی باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. - اگر حد وجود نداشته باشد یا بی‌نهایت شود، تابع مشتق‌پذیر نیست. 4. نکته مهم: برای مشتق‌پذیری، تابع باید پیوسته باشد در نقطه $a$، اما پیوستگی به تنهایی کافی نیست. 5. مثال: اگر تابع $f(x) = |x|$ باشد و بخواهیم مشتق‌پذیری در $x=0$ را بررسی کنیم، حد تعریف مشتق از چپ و راست متفاوت است، پس مشتق‌پذیر نیست. نتیجه: برای بررسی مشتق‌پذیری در نقطه $a$، حد تعریف مشتق را محاسبه و وجود آن را بررسی کنید.