1. **بيان المسألة:** لدينا دالة $f$ معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال $]-1; +\infty[$ مع منحنى $C_f$ ومماسان $T_1$ و$T_2$ عند النقطتين $0$ و $A\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right)$. المطلوب: - رسم جدول التغيرات. - تحديد إشارة $f(x)$ و $f'(x)$. - حل المتراجعة $f(x)f'(x) \leq 0$. - حساب الحدود والقيم $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$، $f'\left(\frac{1}{2}\right)$، $f(2)$، $f(0)$. - تقريب $f(0.001)$. - إيجاد $f(x)$ للعدد $x$ حيث $0 < x < 2$. - تحديد قيم $m$ بحيث معادلة $f(x) = m$ لها حلان متميزان موجبان. - حساب $g'(x)$ حيث $g(x) = [f(x)]^2$ واستنتاج اتجاه تغير $g$. 2. **جدول التغيرات:** - من الرسم، $f$ تزداد على $]-1;0[$ ثم تنقص على $]0; +\infty[$. - إذن $f'(x) > 0$ على $]-1;0[$ و $f'(x) < 0$ على $]0; +\infty[$. - $f(x)$ موجبة على $]0; +\infty[$ باستثناء عند $x=0$ حيث $f(0)=0$. 3. **إشارة $f(x)$ و $f'(x)$:** - $f(x) > 0$ على $]0; +\infty[$ و $f(x) < 0$ على $]-1;0[$. - $f'(x) > 0$ على $]-1;0[$ و $f'(x) < 0$ على $]0; +\infty[$. 4. **حل المتراجعة $f(x)f'(x) \leq 0$:** - نحلل الإشارة: - على $]-1;0[$: $f(x) < 0$ و $f'(x) > 0$ إذن $f(x)f'(x) < 0$. - على $]0; +\infty[$: $f(x) > 0$ و $f'(x) < 0$ إذن $f(x)f'(x) < 0$. - عند $x=0$: $f(0)f'(0) = 0$. - إذن المتراجعة صحيحة على كامل المجال $]-1; +\infty[$. 5. **حساب الحدود والقيم:** - $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$ هو ميل المماس عند $0$، أي $f'(0)$. - من المماس $T_1$ عند $0$، الميل $f'(0)$ معلوم من الرسم (مثلاً $m_1$). - $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ هو ميل المماس $T_2$ عند $A\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right)$، من الرسم (مثلاً $m_2$). - $f(2)$ و $f(0)$ من الرسم أو المعطيات: $f(0)=0$، و $f(2)$ تقريبا من المنحنى. 6. **تقريب $f(0.001)$:** - باستخدام خطية المماس عند $0$: $$f(0.001) \approx f(0) + f'(0) \times 0.001 = 0 + f'(0) \times 0.001$$ 7. **إيجاد $f(x)$ للعدد $0 < x < 2$:** - من الرسم، $f$ موجبة وتنقص بين $0$ و $2$. 8. **قيم $m$ بحيث $f(x) = m$ لها حلان متميزان موجبان:** - من الرسم، $f$ تأخذ قيم بين $0$ و $f(0.5) = \frac{1}{3}$ تقريباً. - إذا كان $0 < m < \frac{1}{3}$، المعادلة لها حلان متميزان في $]0;2[$. 9. **حساب $g'(x)$ حيث $g(x) = [f(x)]^2$:** - باستخدام قاعدة السلسلة: $$g'(x) = 2 f(x) f'(x)$$ 10. **اتجاه تغير $g$:** - إشارة $g'(x)$ تعتمد على إشارة $f(x) f'(x)$. - من الخطوة 4، $f(x) f'(x) \leq 0$، إذن $g'(x) \leq 0$. - بالتالي، $g$ دالة متناقصة على $]-1; +\infty[$. **النتائج النهائية:** - $f'(0)$ هو ميل المماس $T_1$ عند $0$. - $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ هو ميل المماس $T_2$ عند $A$. - $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = f'(0)$. - $f(0) = 0$. - $f(0.001) \approx f'(0) \times 0.001$. - $f(x)$ موجبة وتنقص على $]0;2[$. - المعادلة $f(x) = m$ لها حلان متميزان موجبان إذا $0 < m < \frac{1}{3}$. - $g'(x) = 2 f(x) f'(x) \leq 0$، إذن $g$ متناقصة.