1. Ορίστε το πρόβλημα: Να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης $$f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-a)(z-b)}$$ όπου $a$ και $b$ είναι σταθερές. 2. Γράφουμε τη συνάρτηση ως $$f(z) = (z-1)^{-1}(z-a)^{-1}(z-b)^{-1}$$ για να διευκολυνθούμε στην παραγωγή. 3. Χρησιμοποιούμε τον βασικό τύπο παραγωγής για γινόμενο συναρτήσεων: η παράγωγος του γινομένου τριών συναρτήσεων $u(z)v(z)w(z)$ είναι $$\frac{d}{dz}(uvw) = u'vw + uv'w + uvw'$$ όπου εδώ $u = (z-1)^{-1}$, $v = (z-a)^{-1}$, $w = (z-b)^{-1}$. 4. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: - $$u' = -1 (z-1)^{-2}$$ - $$v' = -1 (z-a)^{-2}$$ - $$w' = -1 (z-b)^{-2}$$ 5. Αντικαθιστούμε στον τύπο της παραγώγου: $$f'(z) = u'vw + uv'w + uvw' = -\frac{1}{(z-1)^2} \cdot \frac{1}{z-a} \cdot \frac{1}{z-b} - \frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{(z-a)^2} \cdot \frac{1}{z-b} - \frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{z-a} \cdot \frac{1}{(z-b)^2}$$ 6. Γράφουμε το αποτέλεσμα συνοπτικά: $$f'(z) = -\frac{1}{(z-1)^2 (z-a)(z-b)} - \frac{1}{(z-1)(z-a)^2 (z-b)} - \frac{1}{(z-1)(z-a)(z-b)^2}$$ Έτσι, χρησιμοποίησαμε τον κανόνα παραγωγής γινομένου και τον κανόνα αλυσίδας για τις συναρτήσεις $u,v,w$.