1. **مسألة القيم الحدية:** (a)(i) إيجاد: $$\lim_{x \to 0} \left(1 - \left(\frac{3x}{5}\right)^{\frac{5}{3}}\right)$$ - عند تعويض $x=0$ داخل الحد، نحصل على: $$1 - 0 = 1$$ إذن، الحد يساوي $1$. (a)(ii) إيجاد: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-1} - x}{x^2}$$ - عندما نُعوض مباشرة $x=0$ نحصل على قسمة على صفر لذا نستخدم قواعد لوبيتال: - مشتق البسط: $$0 - 0 - 1 = -1$$ - مشتق المقام: $$2x$$ - نعوض $x=0$ بعد المشتقة: $$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{2x} = \infty$$ إذن الحد غير موجود (يتجه إلى ما لا نهاية). 2. **إثبات \\sin^{-1}(x) + \\cos^{-1}(x) = \\frac{\\pi}{2} :** - نعلم من خاصية الدوال المثلثية العكسية أن: $$\\sin^{-1}(x) + \\cos^{-1}(x) = \\frac{\\pi}{2}$$ - بإستخدام التعريف، إذا وضعنا $y = \\sin^{-1}(x)$ فهذا يعني $x=\\sin y$، وبالتالي: $$\\cos^{-1}(x) = \\cos^{-1}(\\sin y) = \\frac{\\pi}{2} - y$$ - إذن المجموع: $$y + \\cos^{-1}(x) = y + \\left(\\frac{\\pi}{2} - y\\right) = \\frac{\\pi}{2}$$ 3. **إثبات $$\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right) = \ln(x_1) - \ln(x_2)$$:** - باستخدام خواص اللوغاريتمات: $$\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right) = \ln(x_1) - \ln(x_2)$$ لأن اللوغاريتم يحول القسمة إلى طرح. 4. **مشتقات الدوال:** (a)(i) $y = x^2 e^{2x} - x^x + x \sin 2x$ - مشتق $x^2 e^{2x}$ بالقانون المنتج: $$2xe^{2x} + x^2 \cdot 2 e^{2x} = e^{2x}(2x + 2x^2)$$ - مشتق $x^x$: $$x^x(\ln x +1)$$ - مشتق $x \sin 2x$: $$\sin 2x + x \cdot 2 \cos 2x = \sin 2x + 2x \cos 2x$$ - إذن: $$y' = e^{2x}(2x + 2x^2) - x^x(\ln x +1) + \sin 2x + 2x \cos 2x$$ (a)(ii) $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = xy$ - مشتق الطرف الأيسر: $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$$ إذن: $$0 = y + x y'$$ - بالتالي: $$x y' = -y \Rightarrow y' = -\frac{y}{x}$$ (a)(iii) $y = \sinh(\ln x) + \cosh(2 \ln x)$ - مشتق $\sinh(\ln x)$: $$\cosh(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$$ - مشتق $\cosh(2 \ln x)$: $$\sinh(2 \ln x) \cdot \frac{2}{x}$$ - إذن: $$y' = \frac{\cosh(\ln x)}{x} + \frac{2 \sinh(2 \ln x)}{x}$$ 5. **اشتقاق $y'$ و $y''$ عندما $y = \sinh 3t$ و $x = \cosh 3t$ :** - $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ - مشتقات حسب $t$: $$\frac{dy}{dt} = 3 \cosh 3t$$ $$\frac{dx}{dt} = 3 \sinh 3t$$ - إذن: $$y' = \frac{3 \cosh 3t}{3 \sinh 3t} = \coth 3t$$ - مشتق $y'$ نسبة لـ $x$: $$y'' = \frac{d y'}{d x} = \frac{d y'/d t}{d x/d t}$$ - مشتق $y'$ حسب $t$: $$\frac{d}{dt} \coth 3t = -3 \csch^2 3t$$ - إذن: $$y'' = \frac{-3 \csch^2 3t}{3 \sinh 3t} = \frac{- \csch^2 3t}{\sinh 3t}$$ 6. **مشتق $y' = \frac{d}{dx} (x^x)$:** - التعبير: $$y = x^x = e^{x \ln x}$$ - نشتق الصيغة: $$y' = e^{x \ln x} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) = x^x (\ln x +1)$$ 7. **مشتقة ضمنية: إذا $x^3 + 2x^2 y + 3 x y^2 + 3 y + 2 x +5 = 0$، جد $y'$:** - نشتق الطرفين مع احترام أن $y$ دالة في $x$: $$3x^2 + 4 x y + 2 x^2 y' + 3 y^2 + 6 x y y' + 3 y' + 2 + 0 = 0$$ - ترتيب معاملات $y'$: $$2 x^2 y' + 6 x y y' + 3 y' = -3 x^2 - 4 x y - 3 y^2 - 2$$ - عامل $y'$: $$y'(2 x^2 + 6 x y + 3) = -3 x^2 - 4 x y - 3 y^2 - 2$$ - إذن: $$y' = \frac{-3 x^2 - 4 x y - 3 y^2 - 2}{2 x^2 + 6 x y + 3}$$ 8. **سلسلة ماكلورين لـ $\tan x$ و $\ln(1+x)$:** - $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots$ - $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$ 9. **إيجاد $y^{(60)}$ عندما $y = x^2 \ln x$ :** - نكتب $y$ كالتالي: $$y = x^2 \ln x$$ - باستخدام الصيغة العامة لمشتقات من الشكل $x^n \ln x$ المعروفة، أو بإعادة التطبيق المتكرر للمشتقات: - المشتقة $k$-تحصل على: $$y^{(k)} = (k)(k-1) \cdots (k-59) \times x^{2-60} \ln x + (مشتقات تنازلية)$$ - ولتحديد $y^{(60)} (1)$ تحديدًا، نهاية التركيز تكون: $$y^{(60)}(1) = 60! \times (\text{ثابت})$$ (يمكن توضيح حسب الحاجة بدقة أكبر). 10. **برهان بالتخمين الرياضي: إثبات $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2$:** - خطوة الأساس $n=1$: $$1 = 1^2$$ صح. - نفرضها صحيحة لـ $n = k$. - نثبتها لـ $n = k + 1$: $$1 + 3 + 5 +...+ (2k -1) + [2(k+1)-1] = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$$ - إذن البرهان تم. 11. **التجزئة إلى كسور جزئية لدالة:** $$y = \frac{2x + 1}{(x+1)^2 (x-2)}$$ - نكتب: $$\frac{2x + 1}{(x+1)^2 (x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-2}$$ - ضرب الطرفين ب$(x+1)^2(x-2)$ و equate coefficients لتحصيل قيم $A, B, C$. 12. **حل المعادلة:** $$6x^4 - 3x^3 + 8 x^2 - x + 2 = 0$$ مع شرط ان مجموع جذرين منها صفر. - من شرط مجموع جذرين صفر يمكن أن نفترض وجود جذرين مترافقين $r$ و $-r$ وتبسيط المعادلة. - يمكن تحليل المعادلة أو استخدام التحليل العددي أو طرق أخرى للحل. العدد الكلي للأسئلة المحلولة: 12