1. **Planteamiento del problema:** Calcular la integral triple $$\iiint_B (xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dV$$ donde el dominio $$B = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3\}$$. 2. **Fórmula para integrales triples:** La integral triple sobre un dominio rectangular se calcula como $$\iiint_B f(x,y,z) \, dV = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 (xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dz \, dy \, dx.$$ 3. **Observación:** La función integrando no depende de $$z$$, por lo que la integral respecto a $$z$$ es directa: $$\int_0^3 (xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dz = 3(xy^2 - 2yx + x^2 y).$$ 4. **Reducimos la integral a dos variables:** $$\int_0^1 \int_0^2 3(xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dy \, dx = 3 \int_0^1 \int_0^2 (xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dy \, dx.$$ 5. **Integramos respecto a $$y$$:** \begin{align*} \int_0^2 (xy^2 - 2yx + x^2 y) \, dy &= x \int_0^2 y^2 \, dy - 2x \int_0^2 y \, dy + x^2 \int_0^2 y \, dy \\ &= x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^2 - 2x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 + x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 \\ &= x \cdot \frac{8}{3} - 2x \cdot 2 + x^2 \cdot 2 \\ &= \frac{8}{3} x - 4x + 2x^2 = \left(\frac{8}{3} - 4\right) x + 2x^2 = -\frac{4}{3} x + 2x^2. \end{align*} 6. **Integral final respecto a $$x$$:** $$3 \int_0^1 \left(-\frac{4}{3} x + 2x^2 \right) dx = 3 \left[ -\frac{4}{3} \int_0^1 x \, dx + 2 \int_0^1 x^2 \, dx \right].$$ 7. **Calculamos las integrales:** $$\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}, \quad \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}.$$ 8. **Sustituimos y simplificamos:** $$3 \left(-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} \right) = 3 \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right) = 3 \cdot 0 = 0.$$ **Respuesta final:** $$\boxed{0}.$$