1. Planteamos el problema: hallar el área de la superficie dada por $z = f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre la región $R = \{(x,y) : 0 \leq \sqrt{x^2 + y^2} \leq 1\}$. 2. La fórmula para el área de una superficie $z = f(x,y)$ sobre una región $R$ es: $$A = \iint_R \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dA$$ 3. Calculamos las derivadas parciales: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ 4. Sumamos los cuadrados: $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 = \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} = 1$$ 5. Entonces, el integrando es: $$\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ 6. La región $R$ es el disco $0 \leq r \leq 1$ en coordenadas polares, donde $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. 7. El área se convierte en: $$A = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta$$ 8. Integramos respecto a $r$: $$\int_0^1 r \, dr = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$$ 9. Integramos respecto a $\theta$: $$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$ 10. Por lo tanto: $$A = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \times 2\pi = \sqrt{2} \pi$$ Respuesta final: el área de la superficie es $\boxed{\sqrt{2} \pi}$.