1. Problema: Una piedra cae desde 450 m arriba del nivel de la tierra. 1.1. a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel de la tierra en el instante $t$. - Usamos la fórmula del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: $$s(t) = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$ - Donde $s_0 = 450$ m, $v_0 = 0$ m/s (se deja caer), $g = 9.8$ m/s$^2$. - Por lo tanto: $$s(t) = 450 - 4.9 t^2$$ 1.2. b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel de la tierra? - Cuando la piedra llega al nivel de la tierra, $s(t) = 0$. - Entonces: $$0 = 450 - 4.9 t^2 \implies 4.9 t^2 = 450 \implies t^2 = \frac{450}{4.9} \implies t = \sqrt{91.84} \approx 9.58\, \text{s}$$ 1.3. c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel de la tierra? - La velocidad es $$v(t) = v_0 - g t = 0 - 9.8 \times 9.58 = -93.88\, \text{m/s}$$ - La velocidad negativa indica que va hacia abajo. 1.4. d) Si la piedra se lanza hacia arriba a 5 m/s, ¿cuánto tarda en llegar al nivel de la tierra? - Ahora $v_0 = 5$ m/s, entonces: $$s(t) = 450 + 5 t - 4.9 t^2$$ - Igualamos a cero: $$0 = 450 + 5 t - 4.9 t^2 \implies 4.9 t^2 - 5 t - 450 = 0$$ - Usamos fórmula cuadrática: $$t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 4.9 \times (-450)}}{2 \times 4.9} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8820}}{9.8} = \frac{5 \pm \sqrt{8845}}{9.8}$$ - $$\sqrt{8845} \approx 94.04$$ - Soluciones: $$t_1 = \frac{5 - 94.04}{9.8} \approx -9.07\, \text{s}$$ (rechazada), $$t_2 = \frac{5 + 94.04}{9.8} \approx 10.01\, \text{s}$$ - El tiempo que tarda en llegar es aproximadamente 10.01 segundos. 2. Sea $g(x) = \int_0^x f(t) dt$, con $f(t)$ dada por la gráfica. 2.i) Evaluar $g(0), g(1), g(2), g(3), g(6)$. - $g(0) = 0$ porque el integral es de 0 a 0. - Para $g(1)$: área bajo la curva de 0 a 1, con $f$ aumentando linealmente de 0 a aproximadamente 1.5, es área de triángulo $$\frac{1}{2} \times 1 \times 1.5 = 0.75$$ - $g(2)$: área de 0 a 1 (0.75) más área de 1 a 2. - De 1 a 2, función cae linearmente de 1.5 a 0.5, área es trapezoide: $$\frac{1}{2} (1.5 + 0.5) \times 1 = 1.0$$ - Entonces $g(2) = 0.75 + 1.0 = 1.75$ - $g(3)$: sumar área de 2 a 3. - De 2 a 3, función lineal decrece de 0.5 a algún valor entre 0.5 y -1. Si lineal hasta 5 y en 5 es -1, 2 a 5 es 3 unidades, con caída total 1.5 (0.5 a -1), pendiente \approx -0.5 por unidad. - Entonces a 3 es aproximadamente $0.5 - 0.5 = 0$, área de 2 a 3 es trapezoide con alturas 0.5 y 0 y base 1: $$\frac{1}{2} (0.5 + 0) \times 1 = 0.25$$ - $g(3) = 1.75 + 0.25 = 2.0$ - $g(6)$ incluye adicional área de 3 a 5 y de 5 a 6. - De 3 a 5, función baja linealmente de 0 a -1: área de trapecio negativo $$\frac{1}{2} (0 + -1) \times 2 = -1$$ - De 5 a 6 sube de -1 a 0.5 con línea: área $$\frac{1}{2} (-1 + 0.5) \times 1 = -0.25$$ - Total $g(6) = 2.0 -1 -0.25 = 0.75$ 2.ii) ¿En qué intervalo es creciente $g$? - $g'(x) = f(x)$ por Teorema Fundamental del Cálculo. - $g$ es creciente donde $f(x) > 0$. - Por gráfica, $f(x) > 0$ aproximadamente en $[0, 3]$. 2.iii) ¿Dónde tiene un valor máximo $g$? - Cuando $g'(x) = f(x) = 0$ y $g$ cambia de creciente a decreciente. - Por gráfica y valores en 2.1, máximo cerca de $x=3$. 2.iv) Determine la expresión de $g(x)$ en $[0,3]$. - Dado que $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ y $f$ es una función lineal por tramos: - Para $0 \leq x \leq 1$, $f(t) = 1.5 t$ (slope 1.5), entonces $$g(x) = \int_0^x 1.5 t dt = 1.5 \times \frac{x^2}{2} = 0.75 x^2$$ - Para $1 < x \leq 3$, $f(t)$ es la línea que cae desde 1.5 en $t=1$ a aproximadamente 0 en $t=3$. - Pendiente $$m = \frac{0 - 1.5}{3 - 1} = -0.75$$ - Ecuación $f(t) = -0.75 (t - 1) + 1.5 = -0.75 t + 2.25$ - Entonces: $$g(x) = g(1) + \int_1^x f(t) dt = 0.75 + \int_1^x (-0.75 t + 2.25) dt = 0.75 + \left[-0.375 t^2 + 2.25 t \right]_1^x$$ - Calculando: $$g(x) = 0.75 + (-0.375 x^2 + 2.25 x) - (-0.375 + 2.25) = 0.75 -0.375 x^2 + 2.25 x + 0.375 - 2.25 = -0.375 x^2 + 2.25 x - 1.125$$ - Por tanto, para $1 < x \leq 3$: $$g(x) = -0.375 x^2 + 2.25 x - 1.125$$ 3. Use sumas de Riemann para determinar $$\int_{-1}^5 (2 - 5x + 4x^2) dx$$. - Calcule la integral exacta: $$\int (2 - 5x + 4x^2) dx = 2x - \frac{5}{2} x^2 + \frac{4}{3} x^3 + C$$ - Evaluando de $-1$ a $5$: $$\left(2(5) - \frac{5}{2} (5)^2 + \frac{4}{3} (5)^3 \right) - \left(2(-1) - \frac{5}{2} (-1)^2 + \frac{4}{3} (-1)^3 \right)$$ - Calculamos cada término: $$2(5) = 10$$ $$- \frac{5}{2} (25) = -62.5$$ $$\frac{4}{3} (125) = \frac{500}{3} \approx 166.67$$ - Para $x=-1$: $$2(-1) = -2$$ $$- \frac{5}{2} (1) = -2.5$$ $$\frac{4}{3} (-1) = -\frac{4}{3} \approx -1.33$$ - Sumamos: Para $5$: $10 - 62.5 + 166.67 = 114.17$ Para $-1$: $-2 - 2.5 - 1.33 = -5.83$ - Resultado integral: $$114.17 - (-5.83) = 120$$ 4. Calcule derivada de funciones definidas por integrales. 4.i) $$p(x) = \int_2^{1/x} \arctan(t) dt$$ - Derivada: $$p'(x) = \arctan(1/x) \cdot \frac{d}{dx} (1/x) = \arctan(1/x) \cdot (-1/x^2) = -\frac{\arctan(1/x)}{x^2}$$ 4.ii) $$q(x) = \int_0^{\cot x} (\sqrt{t} + \sqrt{t}) dt = \int_0^{\cot x} 2 \sqrt{t} dt$$ - Primero $2 \sqrt{t} = 2 t^{1/2}$. - Derivada según Teorema Fundamental: $$q'(x) = 2 \sqrt{\cot x} \cdot \frac{d}{dx} (\cot x)$$ - Derivada de $\cot x = -\csc^2 x$. - Entonces: $$q'(x) = 2 \sqrt{\cot x} \times (-\csc^2 x) = - 2 \sqrt{\cot x} \csc^2 x$$ 4.iii) $$r(x) = \int_0^x \sin^3 t dt$$ - Derivada: $$r'(x) = \sin^3 x$$ 5. Resolver integrales. 5.i) $$\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$$ - Sustitución: sea $u = \sqrt{x} \implies x = u^2$, entonces $dx = 2u du$. - Reescribimos integral: $$\int \frac{\sin u}{u} \cdot 2 u du = 2 \int \sin u du$$ - Integral de $\sin u$ es $- \cos u$. - Entonces: $$2 ( - \cos u) + C = -2 \cos \sqrt{x} + C$$ 5.ii) $$\int \tan w \ln (\cos w) dw$$ - Usamos integración por partes. Sea $u = \ln(\cos w)$, $dv = \tan w dw$ - Derivada $du = \frac{d}{dw} \ln(\cos w) = \frac{-\sin w}{\cos w} = - \tan w dw$ - Integral $v = -\ln |\cos w|$ porque $\frac{d}{dw}(- \ln |\cos w|) = \tan w$. - Por partes: $$\int \tan w \ln (\cos w) dw = u v - \int v du = (- \ln |\cos w|) \ln(\cos w) - \int (- \ln |\cos w|)(- \tan w) dw$$ - Simplifica a: $$- (\ln \cos w)^2 - \int \ln \cos w \tan w dw$$ - Notamos que la integral original aparece nuevamente pero con signo negativo. Sea $I = \int \tan w \ln(\cos w) dw$, entonces: $$I = - (\ln \cos w)^2 - I \implies 2 I = -(\ln \cos w)^2 \implies I = - \frac{(\ln \cos w)^2}{2} + C$$ 5.iii) $$\int_1^e \frac{\ln t}{t^2} dt$$ - Sea $I = \int_1^e \ln t \cdot t^{-2} dt$ - Usamos integración por partes. - Sea $u = \ln t \implies du = \frac{1}{t} dt$ - $dv = t^{-2} dt = t^{-2} dt$, entonces $v = \int t^{-2} dt = - t^{-1}$ - Por partes: $$I = uv \bigg|_1^e - \int_1^e v du = \left(\ln t)(-t^{-1})\right)_1^e - \int_1^e (-t^{-1}) \cdot \frac{1}{t} dt = - \frac{\ln t}{t} \bigg|_1^e + \int_1^e t^{-2} dt$$ - Evaluamos extremos: $$- \frac{\ln e}{e} + \frac{\ln 1}{1} + \int_1^e t^{-2} dt = - \frac{1}{e} + 0 + \int_1^e t^{-2} dt$$ - La integral $$\int_1^e t^{-2} dt = \left(- t^{-1}\right)_1^e = -(1/e) + 1 = 1 - \frac{1}{e}$$ - Sumamos: $$I = - \frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}$$ Respuesta final para cada: - 1.a) $$s(t) = 450 - 4.9 t^2$$ - 1.b) $$t \approx 9.58\, s$$ - 1.c) $$v = - 93.88\, m/s$$ - 1.d) $$t \approx 10.01\, s$$ - 2.i) $$g(0)=0, g(1)=0.75, g(2)=1.75, g(3)=2.0, g(6)=0.75$$ - 2.ii) $g$ es creciente en $[0,3]$ - 2.iii) Máximo en $x=3$ - 2.iv) $$g(x) = \begin{cases} 0.75 x^2 & 0 \le x \le 1 \\ -0.375 x^2 + 2.25 x - 1.125 & 1 < x \le 3 \end{cases}$$ - 3) Integral exacta $$=120$$ - 4.i) $$p'(x) = -\frac{\arctan(1/x)}{x^2}$$ - 4.ii) $$q'(x) = -2 \sqrt{\cot x} \csc^2 x$$ - 4.iii) $$r'(x) = \sin^3 x$$ - 5.i) $$-2 \cos \sqrt{x} + C$$ - 5.ii) $$- \frac{(\ln \cos w)^2}{2} + C$$ - 5.iii) $$1 - \frac{2}{e}$$