1. Planteamos el problema: Una onda circular se expande con un radio que crece a razón constante de 2 pies/s. 2. Fórmulas importantes: - Área de un círculo: $$A = \pi r^2$$ - Derivando respecto al tiempo $$t$$, obtenemos la tasa de cambio del área: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$ 3. Datos: - $$\frac{dr}{dt} = 2$$ pies/s 4. Parte a) Calcular $$\frac{dA}{dt}$$ cuando $$r = 12$$ pies: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi (12)(2) = 48\pi$$ pies²/s 5. Parte b) Calcular $$\frac{dA}{dt}$$ cuando $$A = \frac{9}{2} \pi$$ pies²: - Primero, despejamos $$r$$ de $$A = \pi r^2$$: $$r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{9}{2}$$ $$r = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$ pies - Ahora calculamos $$\frac{dA}{dt}$$: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)(2) = 12\pi \frac{1}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\pi$$ pies²/s Respuesta final: - a) $$\frac{dA}{dt} = 48\pi$$ pies²/s - b) $$\frac{dA}{dt} = 6\sqrt{2}\pi$$ pies²/s