1. Énonçons le problème : On a un champ vectoriel $U = (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))$ et on souhaite analyser ses propriétés et en tirer une conclusion. 2. La première étape typique est de calculer la divergence de $U$, qui est donnée par $$\nabla \cdot U = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}.$$ Cela permet de savoir si $U$ est un champ source ou sans source. 3. La deuxième étape est de calculer le rotationnel (ou curl) de $U$, noté $\nabla \times U$, qui est $$\nabla \times U = \left(\frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z},\; \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x},\; \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right).$$ 4. Le rotationnel permet de savoir si $U$ est un champ conservatif ou s'il a une certaine circulation. 5. La conclusion dépendra des résultats : - Si $\nabla \cdot U = 0$, $U$ est un champ solénoïdal (sans divergence). - Si $\nabla \times U = 0$, $U$ est irrotationnel et donc potentiellement un gradient d'une fonction scalaire. 6. En résumé, on analyse $U$ en calculant sa divergence et son rotationnel pour caractériser le champ vectoriel et en tirer des conclusions adaptées au contexte (physique, mathématique, etc.).