1. Calculați integralale definite: 1.a) \(\int_0^3 \frac{dx}{x^2 + 3x + 2} \) Pasul 1: Factorizați numitorul: \(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\) Pasul 2: Descompuneți fracția în fracții simple: \[ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \] Pasul 3: Găsiți coeficienții A și B: \[ 1 = A(x+2) + B(x+1) \] Pentru \(x=-1\): \(1 = A(1) + B(0) \Rightarrow A=1\) Pentru \(x=-2\): \(1 = A(0) + B(-1) \Rightarrow B=-1\) Deci: \[ \int_0^3 \frac{dx}{x^2+3x+2} = \int_0^3 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx \] Pasul 4: Integrați fiecare termen: \[ = \left[\ln|x+1| - \ln|x+2| \right]_0^3 = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{1}{2} = \ln\frac{4/5}{1/2} = \ln\frac{8}{5} \] 1.b) \( \int_1^3 \frac{2x-3}{|x-2| + 1} dx \) Observăm că \(|x-2|\) schimbă expresia în funcție de interval: Pentru \(x \in [1,2)\): \(|x-2| = 2-x\) Pentru \(x \in [2,3]\): \(|x-2| = x-2\) Pasul 1: Scriem integralul ca suma a două: \[ \int_1^3 = \int_1^2 + \int_2^3 \] Pasul 2: Calcul pentru \(\int_1^2 \frac{2x-3}{(2-x)+1} dx = \int_1^2 \frac{2x-3}{3 - x} dx \) Pasul 3: Calcul pentru \(\int_2^3 \frac{2x-3}{(x-2)+1} dx = \int_2^3 \frac{2x-3}{x-1} dx \) Pasul 4: Simplificări și integrare: \[ \int_1^2 \frac{2x-3}{3-x} dx = \int_1^2 \frac{2x-3}{3-x} dx \] Schimbăm \(u=3-x\), \(dx = -du\), când \(x=1\), \(u=2\), când \(x=2\), \(u=1\): \[ = - \int_2^1 \frac{2(3-u)-3}{u} du = \int_1^2 \frac{6 - 2u -3}{u} du = \int_1^2 \frac{3 - 2u}{u} du \] \[ = \int_1^2 \left(\frac{3}{u} - 2\right) du = [3\ln u - 2u]_1^2 = 3\ln 2 -4 +2 = 3\ln 2 -2 \] Pasul 5: Calcul pentru cea de-a doua integrală: \[ \int_2^3 \frac{2x-3}{x-1} dx \] Împărțim: \(\frac{2x-3}{x-1} = 2 + \frac{-1}{x-1}\) Integrală: \[ \int_2^3 2 dx + \int_2^3 \frac{-1}{x-1} dx = 2(x)|_2^3 - [\ln|x-1|]_2^3 = 2(3-2) - (\ln 2 - \ln 1) = 2 - \ln 2 \] Pasul 6: Suma integralelor: \[ (3\ln 2 -2) + (2 - \ln 2) = 2\ln 2 \] 2. Rezolvați inecuația: \[ \int_0^1 (2t^3 x - t^2) dt \geq 0 \] Pasul 1: Calculați integrala în funcție de \(x\): \[ = x \int_0^1 2 t^3 dt - \int_0^1 t^2 dt \] \[ = x \left[ \frac{2t^4}{4} \right]_0^1 - \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = x \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \] Pasul 2: Ineluație devine: \[ \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \geq 0 \Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{1}{3} \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \] 3. Pentru care \(a \in \mathbb{R}\) expresia \[ \int_1^2 \left( \frac{2a}{x^2} + a^2 x \right) dx = 8 \] Pasul 1: Separăm integralul: \[ 2a \int_1^2 x^{-2} dx + a^2 \int_1^2 x dx = 8 \] Pasul 2: Calculăm integralele: \[ \int_1^2 x^{-2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] \[ \int_1^2 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Pasul 3: Substituim: \[ 2a \cdot \frac{1}{2} + a^2 \cdot \frac{3}{2} = 8 \Rightarrow a + \frac{3}{2} a^2 = 8 \] Pasul 4: Adunăm totul într-o formă standard de ecuație: \[ \frac{3}{2} a^2 + a - 8 = 0 \Rightarrow 3 a^2 + 2 a - 16 = 0 \] Pasul 5: Rezolvăm ecuația de gradul II: \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6} \] Soluții: \[ a_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad a_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \] 4. Determină valoarea minimă a funcției: \[ f(x) = \int_0^x (t-1)(t-2)^2 dt, \quad x > 0 \] Pasul 1: Derivăm funcția integrată folosind teorema fundamentală a analizei: \[ f'(x) = (x-1)(x-2)^2 \] Pasul 2: Găsim punctele critice unde \(f'(x)=0\): \[ (x-1)(x-2)^2=0 \Rightarrow x=1 \text{ sau } x=2 \] Pasul 3: Determinăm natura punctelor critice examinând derivata a doua: \[ f''(x) = \frac{d}{dx} [(x-1)(x-2)^2] = (x-2)^2 + (x-1) 2 (x-2) \] Calculăm mai departe: \[ f''(x) = (x-2)^2 + 2 (x-1)(x-2) = (x-2) [ (x-2) + 2(x-1) ] = (x-2)(3x -4) \] Pasul 4: Evaluăm la punctele critice: \[ f''(1) = (1-2)(3 * 1 -4) = (-1)(-1) = 1 > 0 \Rightarrow \text{minim local} \] \[ f''(2) = (0)(6-4) = 0 \Rightarrow \text{se analizează derivata într-o vecinătate} \] Pasul 5: Calculăm valorile funcției în punctele critice: \[ f(1) = \int_0^1 (t-1)(t-2)^2 dt \] Calculăm integralul: \[ (t-1)(t-2)^2 = (t-1)(t^2 -4t +4) = t^3 -5t^2 +8t -4 \] Integrăm: \[ \int_0^1 (t^3 -5t^2 +8t -4) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{5t^3}{3} + 4t^2 - 4t \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{5}{3} + 4 - 4 = \frac{1}{4} - \frac{5}{3} = -\frac{17}{12} \] Deci \(f(1) = -\frac{17}{12} \). Pasul 6: Valoarea la \(x \to 0^+\): \[ f(0) = 0 \] Pasul 7: Valoarea funcției pentru \(x>2\) crește, deci valoarea minimă pe \((0, +\infty)\) este la \(x=1\). Răspuns final: 1.a) \(\ln \frac{8}{5} \) 1.b) \(2 \ln 2\) 2) \( x \geq \frac{2}{3} \) 3) \( a=2 \text{ sau } a=-\frac{8}{3} \) 4) Valoarea minimă este \( f(1) = -\frac{17}{12} \)