1. Énonçons le problème : Nous devons analyser et résoudre le problème de maximisation de la fonction valeur $$V = \int_0^T e^{-rt} U(k(t), \dot{k}(t)) \, dt$$ avec les conditions aux limites $K(0) = K_0$ et $K(T) = K_T$. 2. Ce type de problème est un problème de contrôle optimal ou de calcul des variations. La fonction $U(k, \dot{k})$ est une fonction d'utilité dépendant de l'état $k(t)$ et de sa dérivée $\dot{k}(t)$. Le facteur $e^{-rt}$ est un facteur d'actualisation exponentiel avec $r > 0$. 3. Pour résoudre ce problème, on utilise le principe du calcul des variations ou le formalisme de Pontryagin. La condition nécessaire d'optimalité est donnée par l'équation d'Euler-Lagrange : $$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{k}} \left(e^{-rt} U(k, \dot{k})\right) \right) = \frac{\partial}{\partial k} \left(e^{-rt} U(k, \dot{k})\right)$$ 4. Calculons les dérivées partielles : $$\frac{\partial}{\partial k} (e^{-rt} U) = e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial k}$$ $$\frac{\partial}{\partial \dot{k}} (e^{-rt} U) = e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial \dot{k}}$$ 5. L'équation d'Euler-Lagrange devient donc : $$\frac{d}{dt} \left(e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} \right) = e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial k}$$ 6. En développant la dérivée temporelle : $$-r e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} + e^{-rt} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} \right) = e^{-rt} \frac{\partial U}{\partial k}$$ 7. En divisant par $e^{-rt}$ (qui est non nul) : $$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} \right) - r \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} = \frac{\partial U}{\partial k}$$ 8. Cette équation différentielle doit être résolue avec les conditions aux limites $K(0) = K_0$ et $K(T) = K_T$. 9. La solution dépendra de la forme explicite de $U(k, \dot{k})$. En résumé, la résolution du problème consiste à résoudre l'équation d'Euler-Lagrange modifiée : $$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} \right) - r \frac{\partial U}{\partial \dot{k}} = \frac{\partial U}{\partial k}$$ avec $K(0) = K_0$ et $K(T) = K_T$. Cette équation est la condition nécessaire pour que $V$ soit maximisé ou minimisé selon le contexte.