1. **Enunciado do problema:** Calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas $y = x$ e $y = x^2$ em torno do eixo $y$. 2. **Fórmula usada:** Para volumes por rotação em torno do eixo $y$, usamos o método dos discos ou anéis: $$V = \pi \int_{c}^{d} \left(R(y)^2 - r(y)^2\right) dy$$ onde $R(y)$ é o raio externo e $r(y)$ o raio interno da região em função de $y$. 3. **Encontrar os limites de integração:** As curvas se intersectam onde $x = x^2$, ou seja: $$x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ ou } x=1$$ Correspondente a $y$: Para $y=x$, $y$ varia de 0 a 1. 4. **Expressar $x$ em função de $y$ para cada curva:** - Para $y = x$, temos $x = y$. - Para $y = x^2$, temos $x = \sqrt{y}$. 5. **Determinar os raios para o método dos anéis:** Ao girar em torno do eixo $y$, o raio é a distância do eixo $y$ até a curva, ou seja, o valor de $x$. - Raio externo $R(y) = \sqrt{y}$ (pois $x = \sqrt{y}$ é maior que $x = y$ para $0 \leq y \leq 1$) - Raio interno $r(y) = y$ 6. **Montar a integral do volume:** $$V = \pi \int_0^1 \left( (\sqrt{y})^2 - (y)^2 \right) dy = \pi \int_0^1 (y - y^2) dy$$ 7. **Calcular a integral:** $$\int_0^1 (y - y^2) dy = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$ 8. **Resultado final:** $$V = \pi \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}$$ **Resposta:** O volume do sólido é $\boxed{\frac{\pi}{6}}$.