1. **Enunciado do problema:** Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas $y=\cos x$ e $y=\sin x$ no intervalo $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ em torno do eixo $y=1$. 2. **Fórmula e conceito:** Para volumes de sólidos de revolução em torno de uma linha horizontal diferente do eixo $x$, usamos o método dos discos ou anéis. O volume é dado por: $$V = \pi \int_a^b \left(R_{externo}^2 - R_{interno}^2\right) dx$$ onde $R_{externo}$ e $R_{interno}$ são as distâncias do eixo de rotação até as curvas externas e internas, respectivamente. 3. **Determinar os raios:** O eixo de rotação é $y=1$. As curvas são $y=\cos x$ e $y=\sin x$. - Distância do eixo $y=1$ até $y=\cos x$ é $R_1 = |1 - \cos x| = 1 - \cos x$ (pois $\cos x \leq 1$ no intervalo dado). - Distância do eixo $y=1$ até $y=\sin x$ é $R_2 = |1 - \sin x| = 1 - \sin x$ (pois $\sin x \leq 1$ no intervalo dado). 4. **Identificar qual é o raio externo e interno:** No intervalo $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$, $\cos x \geq \sin x$, então a curva $y=\cos x$ está acima de $y=\sin x$. Assim, o sólido é formado pela região entre as duas curvas, e ao girar em torno de $y=1$, o raio externo é o menor valor de $y$ (mais próximo do eixo), que é $\sin x$, e o raio interno é $\cos x$? Na verdade, como o eixo está em $y=1$, o raio é a distância vertical até cada curva. Como $\cos x \geq \sin x$, então $1 - \sin x \geq 1 - \cos x$, logo: - $R_{externo} = 1 - \sin x$ - $R_{interno} = 1 - \cos x$ 5. **Montar a integral do volume:** $$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[(1 - \sin x)^2 - (1 - \cos x)^2\right] dx$$ 6. **Expandir os quadrados:** $$(1 - \sin x)^2 = 1 - 2\sin x + \sin^2 x$$ $$(1 - \cos x)^2 = 1 - 2\cos x + \cos^2 x$$ 7. **Substituir na integral:** $$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[1 - 2\sin x + \sin^2 x - 1 + 2\cos x - \cos^2 x\right] dx$$ Simplificando: $$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(-2\sin x + \sin^2 x + 2\cos x - \cos^2 x\right) dx$$ 8. **Separar a integral:** $$V = \pi \left[\int_0^{\frac{\pi}{4}} (-2\sin x) dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\cos x dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx \right]$$ 9. **Calcular cada integral:** - $\int_0^{\frac{\pi}{4}} -2\sin x dx = 2(\cos 0 - \cos \frac{\pi}{4}) = 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$ - $\int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\cos x dx = 2(\sin \frac{\pi}{4} - \sin 0) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0) = \sqrt{2}$ - Para $\int \sin^2 x dx$ e $\int \cos^2 x dx$, usamos a identidade: $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ Assim: $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[x + \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$$ 10. **Substituir os valores na integral:** $$V = \pi \left[(2 - \sqrt{2}) + \left(\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\right) + \sqrt{2} - \left(\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}\right)\right]$$ Simplificando: $$V = \pi \left[2 - \sqrt{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \sqrt{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\right] = \pi \left[2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right] = \pi \left[2 - \frac{1}{2}\right] = \pi \times \frac{3}{2} = \frac{3\pi}{2}$$ 11. **Resposta final:** O volume do sólido é $$\boxed{\frac{3\pi}{2}}$$